Homogena funkcio

En matematiko, homogena funkcio estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj.

Formale, estu

$f:V\to W$

funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo $F$.

Ni diru, ke $f$ estas homogena de grado $k$, se la ekvacio

$f(\alpha 𝐯)={\alpha }^{k}f(𝐯)(*)$

veras por ĉiuj $\alpha \in F$ kaj $𝐯\in V$.

Lineara funkcio estas homogena de grado 1.

$f(\alpha 𝐯)=\alpha f(𝐯)$

Plurlineara funkcio $f:V_1\times \dots \times V_n\to W$ estas homogena de grado n:

$f(\alpha {𝐯}_1,\dots ,\alpha {𝐯}_n)={\alpha }^{n}f({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n)$

Eŭlera teoremo pri homogenaj funkcioj

Funkcio

$f(𝐱)=f(x_1,x_2,...,x_n)$

kiu estas homogena de grado $k$, havas partajn derivaĵojn de grado $k-1$. Plue, ĝi verigas la eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj, kiu konstatas, ke

$𝐱\cdot \mathrm{\nabla }f(𝐱)=kf(𝐱)$

Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi tio estas

$\sum _{i=1}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(𝐱)=kf(𝐱)$

Pruvo

Estu $f=f(x_1,\dots ,x_n)$, trovu derivaĵon de

$f(\alpha 𝐲)={\alpha }^{k}f(𝐲)$

je $\alpha$. Laŭ ĉena regulo estas

$\frac{\partial }{\partial x_1}f(\alpha 𝐲)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }(\alpha y_1)+\cdots +\frac{\partial }{\partial x_n}f(\alpha 𝐲)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }(\alpha y_n)=k{\alpha }^{k-1}f(𝐲)$,

kaj do

$y_1\frac{\partial }{\partial x_1}f(\alpha 𝐲)+\cdots +y_n\frac{\partial }{\partial x_n}f(\alpha 𝐲)=k{\alpha }^{k-1}f(𝐲)$.

Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel

$𝐲\cdot \mathrm{\nabla }f(\alpha 𝐲)=k{\alpha }^{k-1}f(𝐲),\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n})$,

de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti $\alpha =1$.

Ĝeneraligoj

Pli ĝenerale, funkcio $f$ estas nomata homogena, se la ekvacio $f(\alpha 𝐯)=g(\alpha )f(𝐯)$ veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio $g$.

Foje funkcio veriganta $(*)$ por ĉiu pozitiva $\alpha$ nomiĝas pozitive homogena (ĉi tio postulas, ke la kampo $F$ estu $ℝ$; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).

Eksteraj ligiloj

• [1]