Derivaĵo de produto

En matematiko, produta regulo aŭ leĝo de Leibniz estas formulo donanta derivaĵon de produto de funkcioj. Estu f(x) kaj g(x) esti du diferencialeblaj funkcioj de x. Tiam

(f·g)'=f·g'+g·f'

aŭ en la alia skribmaniero:

$\frac{d(f(x)\cdot g(x))}{dx}=f(x)\cdot \frac{dg(x)}{dx}+g(x)\cdot \frac{df(x)}{dx}$

Ekzemploj

• Trovu derivaĵon de f(x) = x². Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x·x kaj per uzo de la produta regulo

$\frac{d(x^2)}{dx}=\frac{d(x\cdot x)}{dx}=x\cdot \frac{dx}{dx}+x\cdot \frac{dx}{dx}=x+x=2x$

• Trovu derivaĵon de f(x) = x³. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x²·x kaj

$\frac{d(x^3)}{dx}=\frac{d(x^2\cdot x)}{dx}=x^2\cdot \frac{dx}{dx}+x\cdot \frac{d(x^2)}{dx}$

El la antaŭa ekzemplo prenu la formulon por $\frac{d(x^2)}{dx}$ kaj do

$\frac{d(x^3)}{dx}=x^2+x\cdot 2x=3x^2$

• Trovu derivaĵon de f(x) = x² sin(x).

$\frac{d(x^2\cdot \sin (x))}{dx}=x^2\cdot \frac{d\sin (x)}{dx}+\sin (x)\cdot \frac{d(x^2)}{dx}$

Derivaĵo de sin(x) estas cos(x) kaj do

$\frac{d(x^2\cdot \sin (x))}{dx}=x^{2}cos(x)+2x\sin (x)$

Konsekvencoj

• Speciff okazo de la produta regulo estas la konstanta multiplika regulo kiuj ststas ke se c estas konstanto (ne dependas de x) kaj f(x) estas diferencialebla funkcio, tiam cf(x) estas ankaŭ diferencialebla, kaj ĝia derivaĵo estas

$\frac{d(cf(x))}{dx}=c\cdot \frac{df(x)}{dx}$

ĉar $\frac{dc}{dx}=0$.

• La produta regulo donas la regulon por poparta integralado.

• La produta regulo donas la malfortan version de la regulo de derivaĵo de kvociento. Ĝi estas malforta versio en tio ke ĝi ne pruvas ke la kvociento estas diferencialebla, sed nur statas kio estas ĝia derivaĵo se estas ĝi estas diferencialebla.

Pruvo

Per difino de derivaĵo

f(x)(g(x + h) - g(x)) + g(x + h)(f(x + h) - f(x))

Ĉi tiu pruvo estas simila al la pruvo pli supre. Estu

y(x) = f(x)g(x)

Laŭ difino de derivaĵo

$\frac{dy(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$

kaj do

$\frac{dy(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

Por plisimpligi la limigon oni adiciu kaj subtrahu termon f(x)g(x + h) al la numeratoro, tiam rezultas

$\frac{dy(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}$

Tiam eblas faktorigi partojn de la numeratoro

$\frac{dy(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x)(g(x+h)-g(x))+g(x+h)(f(x+h)-f(x))}{h}$

La frakcio estas disdividiĝas en du frakciojn

$\frac{dy(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }(f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x+h)\frac{f(x+h)-f(x)}{h})$

Pro tio ke g(x) estas diferencialebla ĝi estas kontinua je x kaj do $\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h)$ ekzistas kaj egalas al g(x). Krome, f(x) ne dependas de h kaj povas esti eligita el la limigo kiel konstanta faktoro. Tiel la limigo povas esti aplikata aparte al eroj de la esprimo

$\frac{dy(x)}{dx}=f(x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+(\underset{h\to 0}{\lim }g(x+h))\left(\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)$

La difinoj de derivaĵoj de f(x) kaj g(x)

$\frac{df(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\frac{dg(x)}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

Povas esti uzataj por anstataŭigi erojn de la antaŭ esprimo kaj rezultas la produta regulo

$\frac{dy(x)}{dx}=f(x)\frac{dg(x)}{dx}+g(x)\frac{df(x)}{dx}$

Per tuteca derivaĵo

Funkcio f(x) = g(x)h(x) povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:

$\frac{\partial f}{\partial g}=h$

kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj

$\frac{\partial f}{\partial h}=g$

kie g estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam

$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial g}{g}^{\prime }(x)+\frac{\partial f}{\partial h}{h}^{\prime }(x)=h(x)g^{\prime }(x)+g(x)h^{\prime }(x)$

Ekspliko per diferencialoj

Malkovro de ĉi tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz, kiu monris ĝian verecon jene.

Estu f(x) kaj g(x) du diferencialeblaj funkcioj de x. La diferencialo de fg estas

d(fg) = (f + df)(g + dg) - fg = f·dg + g·df + df·dg

Pro tio ke la termo df·dg estas malatentebla (ĉar ĝi estas kvadrate malgranda respektive al df kaj dg, Leibniz konkludis ke

d(fg) = f·dg + g·df

kaj ĉi tio estas diferenciala formo de la produta regulo. Se dividi la esprimon per diferencialo dx rezultas

$\frac{d(fg)}{dx}=f\frac{dg}{dx}+g\frac{df}{dx}$

Aliaj okazoj

Derivaĵoj de produtoj de vektoraj funkcioj

La regulo veras ankaŭ por skalara produto kaj vektora produto de du vektoro-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu f(x) kaj g(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x.

Tiam por derivaĵo de ilia skalara produto estas formulo

$\frac{d(𝐟(x)\cdot 𝐠(x))}{dx}=𝐟(x)\cdot \frac{d𝐠(x)}{dx}+𝐠(x)\cdot \frac{d𝐟(x)}{dx}$

Por derivaĵo de ilia vektora produto estas formulo

$\frac{d(𝐟(x)\times 𝐠(x))}{dx}=𝐟(x)\times \frac{d𝐠(x)}{dx}+\frac{d𝐟(x)}{dx}\times 𝐠(x)$

kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu vektora produto gravas.

Derivaĵo de produto de matricaj funkcioj

La regulo veras ankaŭ por matrica produto kaj vektora produto de du matrico-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu A(x) kaj B(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x, de tiaj ampleksoj ke ilia matrica produto A(x)B(x) ekzistas.

Tiam por derivaĵo de ilia matrica produto estas formulo

$\frac{d(A(x)B(x))}{dx}=A(x)\frac{dB(x)}{dx}+\frac{dA(x)}{dx}B(x)$

kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

Derivaĵo de produto de pli ol du funkcioj

La produta regulo povas esti ĝeneraligita al produto de pli ol du faktoroj.

Por kolekto de funkcioj f₁(x), ..., f_k(x) de variablo x:

$\frac{d\prod _{i=1}^k{f}_i(x)}{dx}=\sum _{i=1}^k(\frac{d{f}_i(x)}{dx}\prod _{j\ne i}{f}_j(x))$

Ekzemple, por tri faktoroj:

$\frac{d(uvw)}{dx}=\frac{du}{dx}vw+u\frac{dv}{dx}w+uv\frac{dw}{dx}$

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, sed tiam ordo de multiplikatoj en la produtoj devas esti ĉiam tia kia ĝi estas en la fonta produto. Por kolekto de matrico-valoraj funkcioj A₁(x), ..., A_k(x) de variablo x, de ampleksoj tiaj ke ilia produto ekzistas. Taim

$\frac{d\prod _{i=1}^k{A}_i(x)}{dx}=\sum _{i=1}^k\left((\prod _{j=1}^{i-1}{A}_j(x))\frac{d{A}_i(x)}{dx}(\prod _{j=i+1}^k{A}_j(x))\right)$

Ekzemple, por tri faktoroj:

$\frac{d(ABC)}{dx}=\frac{dA}{dx}BC+A\frac{dB}{dx}C+AB\frac{dC}{dx}$

Pli altaj derivaĵoj

La produta regulo povas esti ĝeneraligita al pli altaj derivaĵoj de produto de du funkcioj f(x) kaj g(x) de variablo x:

$\frac{d^n(f(x)g(x))}{d{x}^n}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot \frac{d^{n-k}f(x)}{d{x}^{n-k}}\cdot \frac{d^{k}g(x)}{d{x}^k}$

kie $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ estas binomaj koeficientoj. La formulo aspekte similas al la binomo de Newton.

Ekzemple por n=2:

$\frac{d^2(f(x)g(x))}{d{x}^2}=f(x)\cdot \frac{d^{2}g(x)}{d{x}^2}+2\cdot \frac{df(x)}{dx}\cdot \frac{dg(x)}{dx}+\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}\cdot g(x)$

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

Miksitaj partaj derivaĵoj

Por miksita parta derivaĵo de n-a ordo de produto de du funkcioj f(x₁, ..., x_n) kaj g(x₁, ..., x_n) je x₁, ..., x_n estas formulo

$\frac{{\partial }^n(fg)}{\partial x_1\cdots \partial x_n}=\sum _S\frac{{\partial }^{|S|}f}{\prod _{i\in S}\partial x_i}\cdot \frac{{\partial }^{n-|S|}g}{\prod _{i\in ̸S}\partial x_i}$

kie la indekso S trapasas ĉiujn 2ⁿ variantojn de subaro de aro {1, ..., n}.

Ekzemple por n=3:

$\frac{{\partial }^3(fg)}{\partial x_1\partial x_2\partial x_3}=$

$=f\cdot \frac{{\partial }^{3}g}{\partial x_1\partial x_2\partial x_3}+\frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot \frac{{\partial }^{2}g}{\partial x_2\partial x_3}+\frac{\partial f}{\partial x_2}\cdot \frac{{\partial }^{2}g}{\partial x_1\partial x_3}+\frac{\partial f}{\partial x_3}\cdot \frac{{\partial }^{2}g}{\partial x_1\partial x_2}+$

$+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}\cdot \frac{\partial g}{\partial x_3}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_3}\cdot \frac{\partial g}{\partial x_2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_3}\cdot \frac{\partial g}{\partial x_1}+\frac{{\partial }^{3}f}{\partial x_1\partial x_2\partial x_3}\cdot g$

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

Vidu ankaŭ

• Derivaĵo de funkcia komponaĵo
• Operacioj en vektora kalkulo
• Derivaĵo de kvociento
• Poparta integralado
• Formulo de Faà di Bruno