Leĝo de Biot-Savart

En fiziko, la leĝo de Biot-Savart estas ekvacio en elektromagnetismo kiu priskribas la magnetan kampon B generitan per elektra kurento. La vektora kampo B dependas de la grandeco, direkto, longo, kaj apudeco de la elektra kurento, kaj ankaŭ de fundamenta konstanto nomata kiel la magneta konstanto. La leĝo estas valida en la magnetostatika proksimumado. La donata valoro de la B kampo estas konsekvenca kun ambaŭ cirkvita leĝo de Ampère kaj gaŭsa leĝo pri magnetismo (ankaŭ alinomita leĝo de konservita flukso).

La leĝo de Biot-Savart estas uzebla por kalkuli magnetan kampon generatan per neŝanĝiĝanta elektra kurento, kio estas konstanta fluo de ŝargoj tra konduktilo (drato), kiu fluo ne ŝanĝiĝas kun tempo kaj en kiu ŝargoj nek kolektiĝas nek elĉerpiĝas je iu punkto.

La leĝo estas:

$d𝐁=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id𝐥\times \widehat{𝐫}}{r^2}$

aŭ (ekvivalente)

$d𝐁=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id𝐥\times 𝐫}{r^3}$

(en SI-aj unuoj), kie

I estas la elektra kurento,

dl estas vektoro, kies grandeco estas longo de la diferenciala ero de la konduktilo, kaj kies direkto estas direkto de la kurento,

dB estas la diferenciala kontribuo al la magneta kampo rezultanta de ĉi tiu diferenciala ero de la konduktilo,

μ₀ estas la magneta konstanto,

$\widehat{𝐫}$ estas la delokiga unuobla vektoro en la direkto punktanta de la konduktila ero al la punkto je kiu la kampo estas kalkulata,

r estas la distanco de la konduktila ero al la punkto je kiu la kampo estas kalkulata,

$𝐫=r\widehat{𝐫}$ estas la plena delokiga vektoro de la konduktila ero al la punkto je kiu la kampo estas kalkulata

(la simboloj en grasa tiparfasono estas vektoraj kvantoj).

Por apliki la ekvacion, necesas elekti punkton en spaco je kiu kalkuli la magnetan kampon. Tenante la punkton fiksitan, oni integralu tra la vojo de la kurento (kurentoj) por trovi la tutecan magnetan kampon je la punkto. La apliko de ĉi tiu leĝo implice fidas sur la kompona principo por magnetaj kampoj, kio estas tio ke la magneta kampo estas vektora sumo de la apartaj kampoj kreitaj per ĉiuj infinitezimaj sekcioj de la konduktiloj. La kompona principo veras por la elektra kaj magneta kampoj ĉar ili estas solvaĵo de la ekvacioj de Maxwell kiuj estas linearaj, kie la kurento estas unu el la fontaj kondiĉoj.

La formulo donita pli supre laboras bone se la kurento povas esti proksimumita kvazaŭ fluanta tra malfinie mallarĝa konduktilo. Se la kurento havas iun dikecon, la respektiva formulo de la leĝo de Biot-Savart (denove en SI-aj unuoj) estas:

$d𝐁=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{(𝐉dV)\times \widehat{𝐫}}{r^2}$

aŭ ekvivalente

$d𝐁=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{(𝐉dV)\times 𝐫}{r^3}$

kie

dV estas la diferenciala ero de volumeno,

J estas vektora elektra kurenta denseco en la volumeno.

Tiel la magneta kampo povas esti kalkulita kiel

$𝐁=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉\times \widehat{𝐫}}{r^2}dV$

La leĝo de Biot-Savart estas fundamenta en magnetostatiko, simile al kulomba leĝo en elektrostatiko.

Iuj okazoj

Konstanta unuvoja kurento

En la speciala okazo de konstanta kurento I , fluanta laŭ unu difinita konduktilo kaŭ kurbo C, la magneta kampo B estas

$𝐁=\frac{{\mu }_0}{4\pi }I\underset{C}{\int }\frac{d𝐥\times \widehat{𝐫}}{r^2}$

Punkta ŝargo je konstanta rapido

Ĉe punkta ŝargita partiklo kun elektra ŝargo q moviĝas je konstanta, ne-relativisma rapido v , tiam ekvacioj de Maxwell donas jenan esprimon por la magneta kampo:

$𝐁=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q𝐯\times \widehat{𝐫}}{r^2}$

Ĉi tiu ekvacio estas ankaŭ iam nomata kiel la leĝo de Biot-Savart, pro analogeco de ĝia formo al la norma leĝo de Biot-Savart donita pli supre. La lasta formulo estas nur proksimuma, kaj ĝia akurateco malboniĝas se rapido de la partiklo proksimiĝas al lumrapideco c; ĉi tio okazas ĉar tiam la situacio ne estas perfekte magnetostatika.

Ĉi tiu esprimo povas ankaŭ esti reskribita kiel

$𝐁=𝐯\times \frac{1}{c^2}𝐄$

kie E estas la elektra kampo kiun la ŝargo devus krei se ĝi estus senmova (kiel donita per kulomba leĝo), kio estas

$𝐄=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q\widehat{𝐫}}{r^2}$.

La akurata, relativisma esprimo estas

$𝐁=𝐯\times \frac{1}{c^2}𝐄$

$𝐄=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0}\frac{1-v^2/c^2}{(1-v^2{\sin }^2\theta /c^2{)}^{3/2}}\frac{\widehat{𝐫}}{r^2}$

kie $\widehat{𝐫}$ estas la vektoro punktanta de la aktuala, ne-mense postrestanta pozicio de la partiklo trafe je kiu la kampo estas mezurita, kaj θ estas la angulo inter la rapida vektoro kaj $\widehat{𝐫}$.

Magnetaj respondaj

La leĝo de Biot-Savart povas esti uzata por kalkuli magnetajn respondojn eĉ je la atoma aŭ molekula nivelo, ekzemple magnetan akceptindecon, se la kurenta denseco povas esti ricevita de kvantummekanika kalkulo.

Konsekvenceco kun la aliaj leĝoj de magnetismo

Jen estas skizo de pruvo ke magneta kampo B kalkulita per la leĝo de Biot-Savart estas konsekvenca kun gaŭsa leĝo pri magnetismo kaj ampera cirkvita leĝo.

Startu ni kun la leĝo de Biot-Savart:

$𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int d^3{r}^{\prime }𝐉({𝐫}^{\prime })\times \frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}.$

Pro tio ke

$\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}=-\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)$

kaj uzante la derivaĵon de produto por kirloj, kaj ankaŭ tion ke J ne dependas de r , ĉi tiu ekvacio povas esti reskribita kiel

$𝐁(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\mathrm{\nabla }\times \int d^3{r}^{\prime }\frac{𝐉({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}.$

Prenante la diverĝencon de ambaŭ flankoj

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁(𝐫)=0,$ do ankaŭ $\underset{S}{\iint }\subset \supset 𝐁(𝐫)\cdot d𝐒=0,$

pro tio ke la diverĝenco de kirlo estas ĉiam nulo, ĉi tio donas la gaŭsan leĝon pri magnetismo aŭ la leĝon de konservita flukso dank'al la teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso.

Prenante la kirlon de ambaŭ flankoj de la antaŭa ekvacio, uzante la formulon pri la kirlo de kirlo, kaj denove uzante tion ke J ne dependas de r , rezultas:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\mathrm{\nabla }\int d^3{r}^{\prime }𝐉({𝐫}^{\prime })\cdot \mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)-\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int d^3{r}^{\prime }𝐉({𝐫}^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^2\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right).$

Pro tio ke

$\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)=-{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)$

kaj

${\mathrm{\nabla }}^2\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)=-4\pi \delta (𝐫-{𝐫}^{\prime }),$

kie δ estas la diraka delta funkcio, uzante tion ke la diverĝenco de J estas nulo pro la supozo de magnetostatiko, per poparta integralado, rezultas:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉,$

kio estas la ampera cirkvita leĝo.

Vidu ankaŭ

• Kampo (magneto)
• Ekvacioj de Maxwell
• Ampera cirkvita leĝo
• Ampera forta leĝo
• Lorenca forto
• Magnetismo
• Magneta fluo
• Kulomba leĝo
• Teoremo de Stokes
• Vektora kalkulo

Eksteraj ligiloj

• Elektromagnetismo Ŝablono:Webarchiv de B. Crowell, Kolegio Fullerton