Kurba integralo

En matematiko, kurba integralo estas integralo komputita laŭ kurbo en ia spaco. Kurbaj integraloj estas uzataj en vektora kalkulo kaj kompleksa analitiko. En vektora kalkulo oni konsideras integralojn de skalara aŭ vektora kampoj sur multdimensia spaco; En kompleksa analitiko oni konsideras integralojn de holomorfaj funkcioj sur kompleksa ebeno.

Por kurba integralo oni uzas la normalan integralan simbolon $\int$. Kelkfoje, por integralo laŭ fermitaj kurboj (t.e., kurboj kies komenca kaj fina punktoj koincidas), oni uzas la specialan simbolon $\oint$.

Kurba integralo en vektora kalkulo

Supozu ke:

• $C\subset {ℝ}^n$ estas orientita kurbo korektebla (angle rectifiable; t.e., kurbo kun finia, difinebla longeco);
• $f:C\to ℝ$ estas barita, kontinua (escepte sur nulmezura aro) skalara kampo.

Tiam oni konstruas sumon de Riemann jene. Parametrigu $C$ kiel $\overrightarrow{\gamma }:[a,b]\to ℝ$, kaj dividu $[a,b]$ en $n$ pecojn $[t_i,t_{i+1}]$ kun $t_{i+1}-t_i=(b-a)/n$. Tiam la kurba integralo de skalara kampo $f$ sur kurbo $C$ difiniĝas kiel

$\underset{C}{\int }f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}f(\gamma (t_i))|\overrightarrow{\gamma }(t_i)-\overrightarrow{\gamma }(t_{i+1})|$.

Oni povas pruvi ke la sumo de Riemann ekzistas kaj ne dependas je elekto de parametrigo. Se la kurbo $C$ estas pece glata, la difino simpliĝas al jena formulo:

$\underset{\gamma }{\int }f\mathrm{d}s=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\overrightarrow{\gamma }(t))|{\gamma }^{\prime }(t)|\mathrm{d}t$.

Anstataŭ skalaraj kampoj oni povas difini integralojn de vektoraj kampoj simile. Supozu ke:

• $C\subset {ℝ}^n$ estas orientita kurbo korektebla;
• $\overrightarrow{F}:C\to {ℝ}^n$ estas vektora kampo.

Elektu parametrigon $\gamma :[a,b]\to {ℝ}^n$ kaj dividu $[a,b]$ en $n$ subintervalojn $[t_i,t_{i+1}]$. La kurba integralo de vektora kampo $\overrightarrow{F}$ laŭ kurbo $C$ difiniĝas jene:

$\underset{C}{\int }\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{x}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}\overrightarrow{F}(\gamma (t_i))\cdot (\overrightarrow{\gamma }(t_{i+1})-\overrightarrow{\gamma }(t_i))$.

Simile, se la kurbo $C$ estas pece glata:

$\underset{C}{\int }\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{x}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overrightarrow{F}(\overrightarrow{\gamma }(t))\cdot {\overrightarrow{\gamma }}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$.

Se $\overrightarrow{F}$ estas la gradiento de iu skalara kampo $f$, tio estas,

$\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }f$,

oni povas pruvi ke

$\underset{C}{\int }\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{x}=f(\overrightarrow{\gamma }(b))-f(\overrightarrow{\gamma }(a))$.

Mirinde, por gradientoj de skalaraj kampoj, la kurba integralo ne dependas je la preciza kurbo uzata sed nure je la finpunktoj $\gamma (a)$ kaj $\gamma (b)$ (kaj la orientado) de la kurbo.

Kompleksa analitiko

Supozu ke

• $C\subset ℂ$ estas orientita kurbo korektebla (angle rectifiable; t.e., kurbo kun finia, difinebla longeco);
• $f:C\to ℂ$ estas kompleksvalora funkcio.

Parametrigu $C$ kiel $\gamma :[a,b]\to U$, kaj dividu $[a,b]$ en $n$ pecojn $[t_i,t_{i+1}]$. La kurba integralo de $f$ laŭ $C$ difiniĝas kiel la sumo de Riemann

$\underset{C}{\int }f(z)\mathrm{d}z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}f(\gamma (t_i))(\gamma (t_{i+1})-\gamma (t_i))$.

Se $C$ estas peca glata, la difino simplifigas al:

$\underset{C}{\int }f(z)\mathrm{d}z=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)dt$.

Ekzemple, konsideru la funkcio $f(z)=1/z$. Difinu la kurbo $C$ kiel maldekstrume orientita cirklo ĉirkaŭ $0$. Ni povas parametrigi $C$ kiel $\gamma (t)=\exp (it)$ kun $t\in [0,2\pi ]$. Ni trovas:

${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z$

$=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{1}{\exp it}i\exp (it)\mathrm{d}t$

$=i\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\exp (-it)\exp (it)\mathrm{d}t$

$=i\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{d}t=2\pi i$.

Tiu ĉi povas esti ankaŭ kontrolita per la teoremo de rekremento (vidu sube).

Teoremo de rekremento

Gravaj propozicioj pri kurbaj integraloj estas la koŝia integrala teoremo kaj la teoremo de rekremento (angle: Ŝablono:Lang).

La teoremo de rekremento donas ĝeneralan metodon kalkuli kurbajn integralojn de meromorfaj funkcioj. Precize, supozu ke

• $U\subset ℂ$ estas simple konektita malfermita aro;
• $a_1,\dots ,a_n\in U$;
• $f:(U\setminus a_1,\dots ,a_n)\to ℂ$ estas holomorfa funkcio (t.e. meromorfa sur $U$ kun polusoj $a_k$);
• $C\subset U\setminus a_1,\dots ,a_n$ estas orientita fermita kurbo korektebla (t.e. kun finia longeco).

Tiam:

${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{I}(C,a_k)\mathrm{Res}(f,a_k)$

kie

• $\mathrm{I}(C,a_i)$ signifas la vindnombron (angle: winding number), t.e., $\mathrm{I}(C,a_i)=0$ se $C$ ne serpentumas ĉirkaŭ $a_i$; $\mathrm{I}(C,a_i)=n$ se $C$ serpentumas ĉirkaŭ $a_i$ $n$-foje maldekstrume (t.e. mallaŭhorloĝnadle); $\mathrm{I}(C,a_i)=-n$ se $C$ serpentumas $n$-foje dekstrume (t.e. laŭhorloĝnadle);
• $\mathrm{Res}(f,a_i)$ signifas la rekrementon (angle: residue) de $f$ apud $a_k$, t.e., la valoron $r\in ℂ$ tian ke $f(z)-r/(z-a_i)$ havas holomorfa malderivaĵo apud $a_i$.

Speciale, se mankas la polusoj de $f$, tiam $\oint f=0$. Tio ĉi estas la koŝia integrala teoremo.

Pro la teoremo de rekremento, oni povas ofte uzi konturajn integralojn en la kompleksa ebeno por trovi integralojn de reelvaloraj funkcioj de reela variablo.

Ekzemple, ree konsideru la antaŭan ekzemplon, $\underset{C}{\int }1/z\mathrm{d}z$, kie $C$ estas cirklo ĉirkaŭ $0$. Ekzistas unu poluso de $1/z$, t.e., ĉe $0$. La rekremento $\mathrm{Res}(1/z,0)=1$, ĉar $1/z-1/(z-0)=0$ havas holomorfan malderivaĵon $0$. La vindnombro estas $I(C,0)=1$. Tial

$\underset{C}{\int }1/z\mathrm{d}z=2\pi i$.

Rilato inter vektora kaj kompleksa kurbaj integraloj

Oni povas identigi ${ℝ}^2$ kun $ℂ$. Konsideru orientitan korekteblan kurbon $C\subset {ℝ}^2\cong ℂ$ kaj funkcion $f:C\to {ℝ}^2\cong ℂ$. Tiam:

$\underset{C}{\int }\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{x}=\mathrm{\Re }\underset{C}{\int }\overline{f}(z)\mathrm{d}z$

kaj

$\underset{C}{\int }f(z)\mathrm{d}z=\underset{C}{\int }\overrightarrow{\overline{f}}(\overrightarrow{x})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{x}+i\underset{C}{\int }\overrightarrow{i\overline{f}}(\overrightarrow{x})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{x}$

kie $\overrightarrow{\overline{f}}$ estas $\overline{f}$ vidita kiel vektora funkcio kaj $\overrightarrow{i\overline{f}}$ estas $i\overline{f}$ vidita kiel vektora funkcio.

Uzado en fiziko

La kurba integralo havas multajn aplikojn en fiziko. Ekzemple, la laboro farita sur partiklo vojaĝanta sur kurbo $C$ per forto $\overrightarrow{F}$ estas $\underset{C}{\int }\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{x}$. Se la forto estas gradiento de skalara kampo (t.e., potencialo), tiam la laboro ne dependas sur la preciza vojo de partiklo, nure sur la komenca kaj fina pozicioj de la partiklo.

Kurbaj integraloj estas gravaj ankaŭ en kvantuma mekaniko kaj kvantuma kampa teorio. Ekzemple, kompleksaj kurbaj integraloj estas ofte uzataj kalkuli amplitudojn de probabloj en teorio de disĵetoj.

Vidu ankaŭ

• Integralo
• Surfaca integralo
• Volumena integralo
• Obla integralo
• Teoremo de Stokes

Eksteraj ligiloj

• Solvis problemojn pri kurbaj integraloj Ŝablono:Webarchiv