Faktoreca ringo

En ringo-teorio, faktoreca ringo^[1] estas integreca ringo, kies ĉiu nenula elemento estas esprimebla kiel produto de nemalkomponeblaj elementoj, esence unike.

Difino

Pri integreca ringo $R$ , la jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:

(Unikeco de faktorigo per nemalkomponeblaj elementoj) ĉiu nenula elemento $x \in R$ estas esprimebla kiel produto de la nemalkomponeblaj elementoj de $R$ kaj inversigebla elemento, kaj tia esprimo estas unika je la senco ke, se $x = u p_{1} p_{2} \dots p_{m} = v q_{1} q_{2} \dots q_{n}$ kaj $u, v \in R^{\times}$ kaj $p_{1}, \dots, p_{m}, q_{1}, \dots, q_{n}$ estas nemalkomponeblaj, do ① $m = n$ , kaj ② ekzistas permuto $σ : {1, \dots, m} \to {1, \dots, n}$ kaj inversigeblaj elementoj $w_{1}, \dots, w_{n} \in R^{\times}$ tiaj ke $p_{i} = w_{i} q_{σ (i)}$ por ĉiu $i \in {1, \dots, m}$ .
(Faktorigeblo per primaj elementoj) ĉiu nenula elemento estas esprimebla kiel produto de inversigebla elemento kaj nul, unu, aŭ pluraj prima(j) elemento(j).
Ĉiu nenula prima idealo de $R$ enhavas priman elementon.

Ringo plenumanta la ĉi-suprajn kondiĉojn nomiĝas faktoreca ringo.

Ĉiu ĉefideala integreca ringo estas faktoreca ringo.