Nemalkomponebla elemento

En ringo-teorio, nemalkomponebla elemento de integreca ringo estas nenula elemento, ne esprimebla kiel produto de du neinversigeblaj elementoj.

Difino

En integreca ringo $R$, nenula elemento $r\in R$ estas malkomponebla, se ekzistas du elementoj $x,y\in R$, tiaj ke

• ambaŭ elementoj estas neinversigeblaj, t.e. ne ekzistas $s\in R$ tia ke aŭ $xs=1$ aŭ $ys=1$;
• kaj $xy=r$.

En integreca ringo, nemalkomponebla elemento estas nenula elemento, kiu estas ne malkomponebla.

Propraĵoj

Neniu inversigebla elemento estas nemalkomponebla. Nulo estas, laŭdifine, ne nemalkomponebla.

Ĉiu prima elemento de integreca ringo estas nemalkomponebla. Tamen, ekzistas ekzemploj de nemalkomponebla elemento, kiu ne estas prima elemento.

En faktoreca ringo, ĉiu elemento estas esence unike esprimebla kiel produto de nemalkomponeblaj elementoj.

Ekzemploj

En la ringo de entjeroj, la nemalkomponeblaj elementoj estas tiuj de la formo $\pm p$, en kiu $p$ estas primo.

En la integreca ringo $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, la elemento 3 estas nemalkomponebla; tamen, ĝi ne estas prima elemento.