Ekvacioj de Cauchy-Riemann

En kompleksa analitiko, la ekvacioj de Cauchy-Riemann (aŭ Koŝio-rimanaj ekvacioj), omaĝe al Augustin Louis Cauchy kaj Bernhard Riemann, estas du ekvacioj en partaj derivaĵoj, bazitaj sur analizo de kompleksa funkcio, kiu estas difinita kaj derivebla en ĉiu punkto de malfermita subaro de la kompleksa ebeno $U$, kun valoroj en la kompleksa ebeno $ℂ$ (alidirite, kiu estas holomorfa funkcio). Plie, la du ekvacioj estas necesaj kaj sufiĉaj kondiĉoj de diferencialeblo de kompleksa funkcio, se ambaŭ reela kaj imaginara partoj estas diferencialeblaj reelaj funkcioj de du variabloj. Diferencialebla reela funkcio estas ankaŭ derivebla, sed la samo ne veras por kompleksaj funkcioj. La ekvacioj de Cauchy-Riemann estas la aldonendaj kondiĉoj, por ke derivebla kompleksa funkcio estu diferencialebla (derivebla) kun la sama senso ol por reelaj funkcioj. Se la ekvacioj de Cauchy-Riemann veras, oni povas montri, por holomorfa funkcio $f$, ke ambaŭ ĝia reela parto kaj ĝia imaginara parto estas harmoniaj funkcioj.

Tia sistemo de ekvacioj unue aperis en la laboro de Jean le Rond d'Alembert en 1752 . Poste en 1814, Augustin Cauchy uzis tiajn ekvaciojn por bildigi sian teorion pri funkcioj; kaj ili aperis en disertaĵo de Bernhard Riemann en 1851 .

Estu kompleksa funkcio $f(z)$ (kun $z=x+iy$), kiu povas esti diserigita en sumon de du reelaj funkcioj $u$ kaj $v$ tiel, ke

$f(z)=f(x,y)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),$

plie tiu funkcio $f(z)$ estas derivebla en iu punkto $z_0=x_0+i{y}_0$, kaj sekvas la kondiĉojn de Cauchy-Riemann:

(1a): $u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)$

(1b): $v_x(x_0,y_0)=-u_y(x_0,y_0)$

kie $u_x$ estas la parta derivaĵo de la diferencialebla funkcio $u$ rilate al la variablo $x$, alie simbolita per $\frac{\partial u}{\partial x}$. La sama difino validas por $u_y$, $v_x$ kaj $v_y$.

Se, por tia funkcio, ekzistas limo (finia)

$f^{\prime }(z_0)=\underset{h\to 0,h\in {ℂ}^{*}}{\lim }\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h},$

oni nomas ĝin la derivaĵo de $f$ en $z_0$, tial sekvas ke:

$f^{\prime }(z_0)=u_x(x_0,y_0)+i{v}_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)-i{u}_y(x_0,y_0).$

Demonstro

Konsideru ni iun funkcion $f(z)$ de kompleksa variablo $z$:

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$

kiu estas derivebla en iu punkto $z_0\in ℂ:z_0=(x_0,y_0)=x_0+i{y}_0$, do konsekvence:

$\mathrm{\exists }\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{u(x,y)+iv(x,y)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x-x_0)+i(y-y_0)}$.

Pro tio, ke la funkcio estas derivebla, la valoro de la derivaĵo devas esti la samo laŭ iu ajn vojo kiu konverĝas al $z_0$. Aparte, la rezultoj de la kalkuloj ĉu laŭ $y=y_0$, ĉu laŭ $x=x_0$ devas esti egalaj , tio estas:

1) $f^{\prime }(z_0)=\underset{(x,y_0)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{u(x,y_0)+iv(x,y_0)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x-x_0)+i(y_0-y_0)}=$

$=\underset{(x,y_0)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{u(x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}+i\underset{(x,y_0)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{v(x,y_0)-v(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}=$

$=u_x(x_0,y_0)+i{v}_x(x_0,y_0);$

2) $f^{\prime }(z_0)=\underset{(x_0,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{u(x_0,y)+iv(x_0,y)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{(x_0-x_0)+i(y-y_0)}=$

$=\underset{(x_0,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{u(x_0,y)-u(x_0,y_0)}{i\mathrm{\Delta }y}+i\underset{(x_0,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{v(x_0,y)-v(x_0,y_0)}{i\mathrm{\Delta }y}=$

$=v_y(x_0,y_0)-i{u}_y(x_0,y_0).$

Komparante la rezultojn 1) kaj 2), oni tuj deduktas la antaŭan formuladon de la derivaĵo de $f(z)$ en $z_0$ , kaj ankaŭ la ekvaciojn de Cauchy-Riemann, per egaligo de la du esprimoj de la reela parto kaj de la imaginara parto por $f^{\prime }(z_0)$.

Ekzemploj

• Konsideru ni la funkcion $f:ℂ\to ℂ,z\mapsto \overline{z}$, kiu estas difinita sur $ℂ$, ĝi estas diferencialebla nur sur $ℝ$; sed ĝi estas diferencialebla en neniu punkto pri la kompleksa ebeno $ℂ$, ĉar ĝi sekvas nenie la ekvaciojn de Cauchy-Riemann. Fakte, pro tio, ke $f(z)=x-iy$ :

$\frac{\partial f(z)}{\partial x}=1$ kaj $\frac{\partial f(z)}{\partial y}=-i$

do, por ĉiu $z\in ℂ$, $\frac{\partial f(z)}{\partial y}\ne i\frac{\partial f(z)}{\partial x}.$

• Konsideru ni la funkcion $f(z)=z^2$ en karteziaj koordinatoj:

$f(x+iy)=(x+iy{)}^2=(x^2-y^2)+i2xy,$

kies reela parto kaj imaginara parto estas $u(x,y)=x^2-y^2$ kaj $v(x,y)=2xy$ respektive. Derivaĵoj rilatante al $x$ kaj $y$ tuj donas:

$u_x=2x=v_y$

kaj

$u_y=-2y=-v_x$.

La funkcio $f(z)=z^2$ estas do diferencialebla en la kompleksa ebeno $ℂ$.

Finfine verifu ni la kondiĉon pri la derivaĵoj. La derivaĵo de $f$ skribiĝas tiel $f^{\prime }(z)=\frac{\mathrm{d}(z^2)}{\mathrm{d}z}=2z$ (la reguloj por derivi kompleksajn funkciojn kaj reelajn funkciojn similas), kaj rezultas:

$f^{\prime }(x+iy)=2(x+iy)=2x+i2y=u_x+i{v}_x=v_y-i{u}_y.$

Aliaj esprimoj de la ekvacioj

Aliaj ekvivalentaj formoj por esprimi la kondiĉoj de Cauchy-Riemann estas sekvantaj:

$f_x+i{f}_y=0,$

$f_y+i{f}_x=0.$

Vidu ankaŭ

• Ekvacio en partaj derivaĵoj
• Harmonia funkcio
• Holomorfa funkcio
• Laplaca ekvacio