Valorigo

En matematiko, valorigo estas funkcio, kiu asignas al ĉiu elemento de kampo valoron en komuta grupo, kiu mezuras iaspecan “gradon” de la korpa elemento.

Difino

Supozu, ke haveblas jeno:

• kampo $K$
• komuta tute ordigita grupo $(\mathrm{\Gamma },+,\ge )$.

Oni povas pluigi la grupon $\mathrm{\Gamma }$ al la ĉi-suba tute ordigita monoido $\mathrm{\Gamma }\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$:

$\mathrm{\infty }\ge \alpha \mathrm{\forall }\alpha \in \mathrm{\Gamma }$

$\mathrm{\infty }+\alpha =\alpha +\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }\alpha \in \mathrm{\Gamma }$.

Do, valorigo sur $K$ estas bildigo

$v:K\to \mathrm{\Gamma }\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$

kiu plenumas la ĉi-subajn aksiomojn:

• Pri ajna $a\in K$, do $v(a)=\mathrm{\infty }$ se kaj nur se $a=0$.
• (Homomorfieco) Pri ajnaj $a,b\in K$, do $v(ab)=v(a)+v(b)$.
• Pri ajnaj $a,b\in K$, do $v(a+b)\ge \min (v(a),v(b))$, kaj $v(a+a)=v(a)$.

La valorringo de la valorigo $v$ estas la ringo de elementoj de $K$, kies valoroj estas pozitivaj:

$\{a\in K:v(a)\ge 0\}$.

Tiu subaro de $K$ fakte formas subringon de $K$.

Ekvivalenteco inter valorigoj

Sur la sama kampo $K$, du valorigoj

$v:K\to \mathrm{\Gamma }\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$

$v:K\to {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$

estas ekvivalentaj, se kaj nur se ekzistas ordo-respektanta grupa izomorfio

$\varphi :\mathrm{\Gamma }\to {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$

tia ke, por ĉiu $a\in K$,

$v^{\prime }(a)=\varphi (v(a))$.

Tio estas ekvivalentorilato; ekvivalentoklaso de valorigoj nomiĝas loko.

Ekzemploj

Laŭ la teoremo de Ostrowski, la valorigoj de la kampo de racionalaj nombroj estas ekvivalentaj al unu el la ĉi-subaj:

• la triviala valorigo,

  $v_0(x)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& x=0\\ 0& x\ne 0\end{array}$

• por ĉiu primo $p$, la p-ada valorigo, se $n\in \mathbb{Z}$ estas entjero kaj $a,b\in \mathbb{Z}$ estas primaj inter si kaj neniu el la du estas divideblaj per $p$,

  $v_p(p^{n}a/b)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& a=0\\ n& a\ne 0\end{array}$

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:Mathworld