Teoremo de Rolle

Bildo pri la teoremo de Rolle: y=f(x) estas kontinua en [a,b], derivebla en (a,b) kaj f(a) = f(b). Tiam, ekzistas c, kies derivaĵo nuliĝas.

En analitiko la teoremo de Rolle asertas, ke se funkcio estas kontinua en kompakta Intervalo $[a,b]$, tio estas malfermita kaj limigita, derivebla en ĉiu punkto en la fermita intervalo $(a,b)$ kaj $f(a)=f(b)$, tiam ekzistas almenaŭ interna punkto en $(a,b)$ kies derivaĵo nuliĝas, tio estas $f^{\prime }(c)=0$ (krita punkto).

Formale: Estu $f:[a,b]\to ℝ$ Se $f$ estas kontinua en $[a,b]$, derivebla en $(a,b)$ kaj $f(a)=f(b)$ tiam $\mathrm{\exists }c\in (a,b):f^{\prime }(c)=0$

Demonstro

Per teoremoj de Weierstrass kaj Fermat

Danke al teoremo de Weierstrass la funkcio en la intervalo $[a,b]$ garantias la ekziston de absolutaj maksimumo kaj minimumo (kiuj estos $M$ kaj $m$). Estas du kazoj:

1. Maksimumo kaj minimumo estas ambaŭ en ekstremoj. Do, ĉar $f(a)=f(b)$, $M=m$. Tio implikas, ke la funkcio estas konstanta en la intervalo $[a,b]$ kaj la derivaĵo estas nula en ĉiuj punktoj $c$ de la intervalo $(a,b)$.
2. Maksimumo kaj minimumo ne estas en ekstremoj sed ene de la intervalo. Ni supozu, ke la punkto $c$ en la malfermita intervalo $(a,b)$ estas maksimumo, tio estas $f(c)=M$. Laŭ la teoremo de Fermat pri kritaj punktoj la derivaĵo estas nula en la punkto $c$.

Per teoremo de Lagrange

Ĉi tiu teoremo estus aparta kazo de la teoremo de Lagrange, kiu asertas, ke, sen la hipotezo $f(a)=f(b)$, $\mathrm{\exists }c\in (a,b)|f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Se $f(a)=f(b)$, la numeratoro estas nula, do la teoremo de Rolle estas verigita.

Kontraŭekzemploj

Dua kontraŭekzemplo. La funkcio $y=|x|$ en la intervalo $[-1,1]$ ne deriveblas en x = 0. La teoremo de Rolle ne estas valida.

La teoremo ne validas se ne estas nur unu el la tri hipotezoj:

1. $f(x)$ ne estas kontinua en $[a,b]$.
2. $f(x)$ ne estas derivebla en $(a,b)$.
3. $f(a)\ne f(b)$.

Ĝeneraligoj

Ebla ĝeneraligo de la teoremo de Rolle garantias la ekziston de ne-deriveblaj punktoj, de fleksoj kun vertikala tanĝanto, tio estas punktoj kie la limeso de la pliiga raporto estas infinito.

Vidu ankaŭ

• Derivaĵo
• Teoremo de Lagrange
• Teoremo de Cauchy