Simboloj de Christoffel

En diferenciala geometrio, la simboloj de Christoffel estas la koeficientoj de la konekto de Levi-Civita difinita de la rimana metriko.

Difino

Supozu rimanan sternaĵon $(M,g_{ij})$. Ni uzas la ejnŝtejnan notacion, laŭ kiu ripetita paro de malsupra kaj supra indicoj implicite indikas sumon.

La simboloj de Christoffel estas la ĉi-subaj objektoj:

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{k{k}^{\prime }}({\partial }_i{g}_{j{k}^{\prime }}+{\partial }_j{g}_{i{k}^{\prime }}-{\partial }_{k^{\prime }}{g}_{ij})$.

Ĉi tiuj estas la koeficientoj de la konekto de Levi-Civita difinita de la rimana metriko $g$. Konkrete, jen la kovarianta derivo de vektora kampo $X$:

${\mathrm{\nabla }}_i{X}^j={\partial }_i{X}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{j^{\prime }i}^j{X}^{j^{\prime }}$.

Simile, la kovarianta derivo de diferenciala 1-formo $\alpha$:

${\mathrm{\nabla }}_i{\alpha }_j={\partial }_i{\alpha }_j-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^{j^{\prime }}{\alpha }^{j^{\prime }}$.

Propraĵoj

La simboloj de Christoffel estas simetriaj je la malsupra paro de indicoj:

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k={\mathrm{\Gamma }}_{ji}^k$.

La kontrahiĝo de la simboloj de Christoffel estas simpla:

${\mathrm{\Gamma }}_{ji}^i=\frac{1}{2}{\partial }_j\ln |\det g|$.

En la ĉi-supro, $|\det g|$ estas la absoluta valoro de la determinanto de $g_{ij}$.

Historio

La simbolojn de Christoffel malkovris la germana matematikisto Elwin Bruno Christoffel.

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:Mathworld