Retatingebla Enciklopedio de Entjerosinsekvoj

La Retatingebla Enciklopedio de Entjerosinsekvoj aŭ OEIS (angle On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) estas reta enciklopedio pri sinsekvoj de entjeroj, ekzemple, la fibonaĉi-nombroj, la katalanaj nombroj, la primoj k.a. La retejon fondis Neil Sloane, kaj nun (2017) ĝin posedas la organizaĵo OEIS Foundation, kies prezidanto li estas.

En OEIS oni kolektas informojn pri entjerosinsekvoj, kiuj interesas profesiajn matematikistojn kaj amatorojn, kaj estas vaste uzataj. En la novembro de 2017 la enciklopedio enhavas artikolojn pri preskaŭ 300000 sinsekvoj

La artikolo de OEIS enhavas la unuajn elementojn de la sinsekvo, ŝlosilvortojn, matematika priskribo, nomoj de aŭtoroj, referencoj al literaturo; estas eble desegni grafikaĵon aŭ ludi la sinsekvon muzike. Serĉado eblas laŭ ŝlosilvortoj aŭ laŭ subsinsekvo.

Historio

Neil Sloane komencis kolekti entjerosinsekvojn en [1964] en la Universitato Cornell dum esplorado pri kombinatoriko. Komence datumbazo konserviĝis per trukartoj. Li dufoje publikigis la datumbazon:

1. A Handbook of Integer Sequences (Manlibro pri Entjerosinsekvoj, 1973, ISBN 0-12-648550-X), enhavis 2372 sinsekvojn ordigitajn laŭ leksikografia ordo kaj numeritaj ekde 1 ĝis 2372
2. The Encyclopedia of Integer Sequences (Enciklopedio pri Entjerosinsekvoj 1995, ISBN 0-12-558630-2, la dua aŭtoro estas Simon Plouffe), enhavis 54888 sinsekvojn, kiuj estis numeritaj per M-numeroj ekde M0000 ĝis M5487. Sinsekvojn de la Enciklopedio ligiĝis kun la samaj de la Manlibro (eble kelkaj unuaj elementoj ne estis samaj) per N-numeroj (ekde N0001 ĝis N2372 anstataŭ ekde 1 ĝis 2372). Ankaŭ la Enciklopedio enhavis A-numeroj, kiuj estas uzataj ĝis nun en OEIS, la Manlibro ilin ne havis.

Tiuj ĉi libroj estis akceptitaj bone kaj matematikistoj komencis provizi al Sloane konstantan fluon da sinsekvoj. La kolekton estiĝas neregebla en la formo de libro, do Slone publikigis ĝin en Interreto, komence kiel retpoŝta servo (la aŭgusto 1994) kaj poste kiel retejo 1996. Kiel kromprodukto de la laboro kun la datumbazo Sloane fondis la revuon “Journal of Integer Sequences” (Revuo de Entjerosinsekvoj) en 1998. La datumbazo kreskis je 10–18 miloj da sinsekvoj ĉiujare. Dum 40 jaroj Sloane mem regis “siajn” sinsekvojn, sed lanĉinta en 2002 konsilo de redaktoroj kaj volontuloj helpis lin pri la datumbazo..

En la 2004 OEIS ekhavis 100000-an sinsekvon, kun la numero Ŝablono:Oeislig, kiu dependas de la markoj sur la osto de Iŝango. En 2006 oni tute ŝanĝis la interfacon kaj aldonis pliajn eblojn por serĉado. En la oktobro de 2009 Slone transdonis la intelektan propraĵon kaj la retejon de OEIS al la organizaĵo “OEIS Foundation”. En la 2010 estis kreita OEIS wiki por simpligi kunlaboron de redaktoroj kaj kontribuantoj. La 200000-a sinsekvo, A200000, estis aldonita en la novembro de 2011.

Konvencioj

OEIS oni povas uzi nur simplan aski-tekston ĝis la 2011. Grekaj literoj ordinare estis anstataŭigitaj per iliaj nomoj. Ĉiu sinsekvo estas identigita kun la litero A kaj sekvantaj post ĝi ses ciferoj. Iufoje ili nomas ĝin sen unuaj nuloj, do A22 anstataŭ Ŝablono:Oeislig. La elementojn de sinsekvo oni apartigu per komoj, grupoj da ciferoj neniel apartigu. En komentoj, formuloj k.t.p. a(n) signifas la n-an elementon de sinsekvo.

Speciala signifo de nulo

Nulon oni ofte uzas por indiki neekzistantajn elementojn de sinsekvo. Ekzemple, la sinsekvo Ŝablono:Oeislig, a(n) estas “la plej malgranda el n² sinsekvaj primoj, kiuj formas magian kvadraton” $n\times n$ kun plej malgranda magia konstanto, aŭ 0, se tia kvadrato ne ekzistas. a(1) = 2, a(3) = 1480028129; tamen magia kvadrato $2\times 2$ el sinsekvaj primoj ne ekzistas, do a(2) = 0.

Iufoje la nombro $-1$ estas uzata por la sama celo, kiel en la sinsekvo Ŝablono:Oeislig

Leksikografia ordigo

En OEIS oni ordigas sinsekvoj leksikografie, por ĉiu sinsekvo estas antaŭa kaj sekva sinsekvoj (ĝia “kunteksto”). OEIS por normigo (ordinare) ignoras komencaj nulojn kaj unuojn kaj signumon de ĉiu elemento. Kiel ekzemplo ni konsideru jenajn sinsekvojn: la primojn, la palindromajn primojn, la fibonaĉi-nombrojn, la centrajn multangulajn nombrojn kaj la sinsekvon de la koeficientoj de malkompono de la frakcio $\frac{\zeta (n+2)}{\zeta (n)}$. En OEIS ilia ordo estas tia:

• Sinsekvo #1: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ... Ŝablono:Oeislig
• Sinsekvo #2: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, ... Ŝablono:Oeislig
• Sinsekvo #3: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ... Ŝablono:Oeislig
• Sinsekvo #4: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, ... Ŝablono:Oeislig
• Sinsekvo #5: 1, −3, −8, −3, −24, 24, −48, −3, −8, 72, −120, 24, −168, 144, ... Ŝablono:Oeislig

La fragmentojn verdafonajn oni ne konsideras dum ordigo. Se oni ilin konsiderus, la ordo de la sinsekvoj estus tia: #3, #5, #4, #1, #2.

Ne entjeroj

En OEIS estas registritaj sinsekvoj, kiu iumaniere implicas sinsekvojn de frakcioj, ekzemple, la sinsekvo de Farey de kvina ordo:

$\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}$

estas registrita kiel la sinsekvo de numeratoroj:

1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 4 (Ŝablono:Oeislig)

kaj la sinsekvo de denominatoroj:

5, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5 (Ŝablono:Oeislig).

Ankaŭ eblas iumaniere prezenti neracionalan nombron per entjerosinsekvo, ekzemple la nombro Pi estas prezentita en OEIS kiel la sinsekvo de ciferoj:

• en la dekuma sistemo: 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, … (Ŝablono:Oeislig);
• en la duuma sistemo: 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, … (Ŝablono:Oeislig).

Aŭ kiel la sinsekvo de la regular-formaj ĉen-frakciaj koeficientoj: 3, 7, 15, 1, 292, 1, … (Ŝablono:Oeislig).

Artikolo de OEIS

Simpligita ekzemplo de tipa artikolo de OEIS

La artikolo Ŝablono:Oeislig estis elektita ĝar ĝi havas ĉiujn kampojn, kiujn povas havi artikolo de OEIS.

A046970     Generated from Riemann Zeta function: coefficients in series expansion of Zeta(n+2)/Zeta(n).
            1, -3, -8, -3, -24, 24, -48, -3, -8, 72, -120, 24, -168, 144, 192, -3, -288, 24, -360, 72, 384, 360, -528, 24, -24, 504, -8, 144, -840, -576, -960, -3, 960, 864, 1152, 24, -1368, 1080, 1344, 72, -1680, -1152, -1848, 360, 192, 1584, -2208, 24, -48, 72, 2304, 504, -2808, 24, 2880, 144, 2880, 2520, -3480, -576
OFFSET      1,2
COMMENTS    B(n+2) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4pi^2))*z(n+2)/z(n) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4pi^2))*Sum(j=1, infinity) [ a(j)/j^(n+2) ]
            ...
REFERENCES  M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965, pp. 805-811.
LINKS       M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, Tenth Printing, 1972 [alternative scanned copy].
            Wikipedia, Riemann zeta function.
FORMULA     Multiplicative with a(p^e) = 1-p^2. a(n) = Sum_{d|n} mu(d)*d^2.
            a(n) = product[p prime divides n, p^2-1] (gives unsigned version) [From Jon Perry (jonperrydc(AT)btinternet.com), Aug 24 2010]
EXAMPLE     a(3) = -8 because the divisors of 3 are {1, 3} and mu(1)*1^2 + mu(3)*3^2 = -8.
            ...
MAPLE      Jinvk := proc(n, k) local a, f, p ; a := 1 ; for f in ifactors(n)[2] do p := op(1, f) ; a := a*(1-p^k) ; end do: a ; end proc:
            A046970 := proc(n) Jinvk(n, 2) ; end proc: # R. J. Mathar, Jul 04 2011
MATHEMATICA muDD[d_] := MoebiusMu[d]*d^2; Table[Plus @@ muDD[Divisors[n]], {n, 60}] (Lopez)
            Flatten[Table[{ x = FactorInteger[n]; p = 1; For[i = 1, i <= Length[x], i++, p = p*(x[[i]][[1]]^2 - 1)]; p}, {n, 1, 50, 1}]] [From Jon Perry (jonperrydc(AT)btinternet.com), Aug 24 2010]
PROG      (PARI) A046970(n)=sumdiv(n, d, d^2*moebius(d)) (Benoit Cloitre)
CROSSREFS   Cf. A027641 and A027642.
            Sequence in context: A035292 A144457 A146975 * A058936 A002017 A118582
            Adjacent sequences:  A046967 A046968 A046969 * A046971 A046972 A046973
KEYWORD     sign,mult
AUTHOR      Douglas Stoll, dougstoll(AT)email.msn.com
EXTENSIONS  Corrected and extended by Vladeta Jovovic (vladeta(AT)eunet.rs), Jul 25 2001
            Additional comments from Wilfredo Lopez (chakotay147138274(AT)yahoo.com), Jul 01 2005

Kampoj

Artikolo de OEIS povas havi datumojn en jenaj kampoj:

ID number

Ĉiu sinsekvo en OEIS estas numerita per sescifera natura nombro kun la prefikso A (de Ŝablono:Lang-en). Numerojn donas aŭ redaktoro(j) aŭ distribuilo de A-numeroj, kio estas oportune se oni aldonas samtempe kelkajn sinsekvojn kun krucreferencoj. A-numero de la distribuilo validas dum unu monato se estas neuzata.

La numeraroj de sinsekvoj en la libroj, kiuj estis antaŭ OEIS, malsamas kun nuna. M-numeroj de Handbook of Integer Sequences (1973) kaj N-numeroj de Encyclopedia of Integer Sequences (1995), se sinsekvo ilin havas, ankaŭ estas indikitaj en la kampo “ID number” parenteze post A-numero.

Sequence data

En la kampo “Datumoj de sinsekvo” troviĝas la listo de la nombroj mem. Per tiu ĉi kampo ne eblas distingi nefinian sinsekvon de finia, sed tro longa por esti demonstrita tute; por tiu distingo oni uzu la ŝlosilvortojn fini, full kaj more. Por ekscii la numeron n por ĉiu nombro en la montranta parto de la sinsekvo oni uzu la kampon offset, kiu indikas la numeron de la unua montrata elemento

Name

La kampo “Nomo” ordinare enhavas la kutiman nomon de la sinsekvo, eble kun la formulo.

Comments

En la kampo “Komentoj” estas konservata informo, kiu ne taŭgas por iu alia kampo. Ofte en komentoj oni indikas interesajn interligojn inter diversaj sinsekvoj.

References

Enhavas referencojn al presitaj dokumentoj (libroj, artikoloj, …).

Links

Enhavas ligilojn (URL) al retpaĝoj.

Formula

Enhavas formulojn, rikuraj formulojn, generantajn funkciojn k.t.p.

Example

Enhavas por la sinsekvo ekzemplojn de valoroj de ĝiaj elementoj kun klarigoj.

Maple

Enhavas Maple-an kodon por generi la sinsekvon.

Mathematica

Enhavas Mathematica-n kodon por generi la sinsekvon.

Program

Enhavas programon en aliaj programlingvoj por generi la sinsekvon. La programlingvon oni indikas parenteze. Dekomence Maple kaj Mathematica estis preferitaj por kalkuli sinsekvojn, do ili ambaŭ havas la proprajn kampojn. En 2016, Mathematica estis la plej preferita sistemo kun 50000 programoj, la sekva estis PARI/GP kun 50000 programoj, kaj la tria — Maple kun 35000 programoj, aliaj programoj estis 45000.

Tio ĉi validas por ĉiu kampo: se nomo de aŭtoro ne estas speciale indikita, do kontribuon (tiuokaze programon) faris la unua sendinto de la sinsekvo.

See also

Krucreferencoj, aldonitaj fare de la sendinto de la sinsekvo, ordinare estas markitaj per “Cf.”

Ekskluzive de novaj sinsekvoj, tiu ĉi kampo ankaŭ enhavas por la sinsekvo informojn pri sinsekvoj apudaj en leksikografia ordo (la tri antaŭaj kaj la tri postaj) — la kunteksto, kaj pri sinsekvoj kun proksimaj A-numeroj (ankaŭ la tri antaŭaj kaj la tri postaj).

Keyword

OEIS havas propran norman aron de plejparte kvarliteraj ŝlosilvortoj por karakterizi ĉiun sinsekvon.

• base La rezultoj de la kalkulado dependas de nombrosistemo. Ekzemple, 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181… (Ŝablono:Oeislig) estas primoj en iu ajn nombrosistemo, sed estas palindromoj nur en la dekuma sistemo.
• bref La sinsekvo estas tro mallonga por anlizi ĝin.
• changed La sinsekvo estis ŝanĝita dum lastaj du aŭ tri semajnoj.
• cofr La sinsekvo estas ĉena frakcio, ekzemple, la kompono de nombro e (Ŝablono:Oeislig) aŭ π (Ŝablono:Oeislig).
• cons La sinsekvo estas dekumaj ciferoj de grava matematika konstanto, ekzemple e (Ŝablono:Oeislig) aŭ π (Ŝablono:Oeislig).
• core La sinsekvo havas fundamentan gravecon en iu ajn branĉo de matematiko, ekzemple la primoj (Ŝablono:Oeislig) aŭ la fibonaĉi-nombroj (Ŝablono:Oeislig).
• dead Tiu ĉi ŝlosilvorto markas sinsekvon malkorektan, kiu aperis en libroj aŭ aliaj publicaĵoj, aŭ duplikaton de ekzistanta sinsekvo. Ekzemple, la Ŝablono:Oeislig estas sama kiel Ŝablono:Oeislig
• dumb Unu el la plej subjektiva ŝlosilvortoj, markas “malgravan sinsekvon”. Ekzemple, Ŝablono:Oeislig — “Miksaĵo el ciferoj de π kaj e”, aŭ Ŝablono:Oeislig — “Nombroj sur komputila cifera klavaro, legantaj laŭ spiralo”.
• dupe Markas duplikaton de alia sinsekvo.
• easy Indikas, ke elementoj de la sinsekvo estas facile kalkuleblaj. Bona ekzemplo de uzado de ĉi tiu ŝlosilvorto estas naturaj nombroj 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Ŝablono:Oeislig. La ŝlosilvorton easy oni foje donas al sinsekvo difinita kiel “primoj de formo f(n)”, se f(n) estas facile kalkulebla, kvankam estas tre malfacile malkovri, ĉu f(n) estas primo.
• eigen Markas sinsekvon de ejgeno.
• fini Markas sinsekvon finian, kvankam ĝi povas enhavi pli da elementoj ol eblas montri. Ekzemple, por la Ŝablono:Oeislig oni montras nur ĉirkaŭ kvaronon da elementoj, sed en la kampo de komentoj estas skribite, ke la lasta elemento egalas al 3888.
• frac Markas sinsekvon de numeratoroj aŭ de denominatoroj por iu sinsekvo de frakcioj. Ĉiu sinsekvo de numenatoroj kun la respektiva sinsekvo de denominatoroj devas krucreferenci sin reciproke, eble ekskluzive sinsekvoj de egiptaj frakcioj kiel Ŝablono:Oeislig , kies sinsekvo de numenatoroj povus esti Ŝablono:Oeislig. Oni ne uzu tiun ŝlosilvorton por sinsekvo de ĉena frakcio, por tio oni uzu cofr.
• full Indikas, ke ĉiuj elementoj de la sinsekvo estas montrataj. Se ĉeestis la ŝlosilvorto full do la ŝlosilvorto fini ankaŭ devas ĉeesti.
• hard Indikas, ke elementoj de la sinsekvo ne estas facile kalkuleblaj. Plej ofte tiun ŝlosilvortojn oni uzas por sinsekvoj ligitaj kun nesolvitaj problemoj, ekzemple Ŝablono:Oeislig.
• hear Indikas, ke la sinsekvo estas speciale interesa kaj/aŭ bela en sia muzika formo (la aŭdinda sinsekvo).
• less “La malpli interesa sinsekvo”.
• look La sinsekvo havas speciale interesan kaj/aŭ belan grafikaĵon.
• more Necesas pli da elementoj de la sinsekvo; legantoj povas sendi aldonon.
• mult Indikas ke la sinsekvo kongruas al multiplika funkcio. La elemento $a(1)$ devas egali al 1, elemento $a(m\times n)$ oni povas kalkuli kiel $a(m)\times a(n)$, se PGKD$(m,n)=1$. Ekzemple, en la Ŝablono:Oeislig $a(12)=a(3)\times a(4)=-8\times (-3)$.
• new Indikas ke la sinsekvo estas aldonita aŭ ŝanĝita dum la lastaj du semajnoj.
• nice Verŝajne estas la plej subjektiva ŝlosilvorto, por “treege belaj sinsekvoj”.
• nonn Indikas ke elementoj de la sinsekvo estas nenegativaj nombroj. Ne gravas, ĉu ili estas nenegativaj nur pro elekto de la komenca parametro n (ekzemple, n³, la kuboj, dum n ≥ 0) aŭ ĉu ili estas nenegativaj laŭ difino (ekzemple, n², la kvadratoj).
• obsc Indikas ke la sinsekvo estas difinita malklare kaj bezonas pli bonan difinon.
• sign Indikas ke kelkaj (aŭ ĉiuj) elementoj de la sinsekvo estas negativaj nombroj. En la datumbazo estas du kampoj: signed enhavas elementojn kun la signumo, kaj sequence enhavas absolutajn valorojn de ili.
• tabf Indikas neregularan aŭ strangaspektan tabelon da nombroj, transformitan al sinsekvo. Ekzemple Ŝablono:Oeislig.
• tabl La sinsekvo estas kreita per legado el iu geometria dismetaĵo de nombroj, ekzemple el triangula aŭ kvadrata tabelo laŭ linioj. La plej bona ekzemplo estas la triangulo de Pascal, legita laŭ linioj, Ŝablono:Oeislig.
• uned La sinsekvon ne estas redaktita, sed estas inda por aldoni en OEIS. Eble ĝi enhavas erarojn aŭ mistajpaĵojn. Oni rekomendas al kontribuantoj redakti tiajn sinsekvojn.
• unkn Pri la sinsekvo oni scias preskaŭ nenion, eĉ ne la formulon. Ekzemple la Ŝablono:Oeislig.
• walk La sinsekvo prezentas nombro de vojoj en iu grafeo.
• word La sinsekvo dependas de vortoj de iu ajn lingvo. Ekzemple la sinsekvo Ŝablono:Oeislig, en kiu $a(n)$ egalas la nombron da literoj (esceptante spacetojn kaj streketojn) en esperantlingva(j) vorto(j), kiu(j) esprimas la numeron n.

Certaj ŝlosilvortoj estas ekskluzivaj reciproke, tiuj estas core kaj dumb, easy kaj hard, full kaj more, less kaj nice, nonn kaj sign.

Offset

En la kampo lokiĝas du nombroj. La unua estas komenca parametro n por la unua montrata elemento de la sinsekvo. Defaŭlte ĝi estas 0. En plejparto de sinsekvoj komenca parametro egalas al 0 aŭ 1. La dua nombro estas la numero de la unua elemento (numerado komenciĝis de 1), kies absoluta valoro estas pli granda ol 1. Ekzemple, se en la Ŝablono:Oeislig $a(0)=0,$ $a(1)=1,$ $a(2)=1,$ $a(3)=1,$ $a(4)=2$, do la kampo “Offset” enhavas nombrojn 1, 5. La dua nombro oni uzas por rapidigi serĉadon en OEIS.

Author(s)

La aŭtoro(j) de la sinsekvo estas tiu(j), kiu(j) sendis la sinsekvon en OEIS-on, eĉ se ĝi estis konata ekde antikvaj tempoj.

Extension

La nomo(j) de tiu(j), kiu(j) aldonis novajn elementojn al la sinsekvo aŭ alimaniere redaktis la artikolon pri la sinsekvo, kun la datoj de tiuj redaktoj.

Sinsekvoj difinitaj per OEIS mem

Dum la historio de OEIS tre frue oni proponis tiajn sinsekvojn, sed Sloane de komenco rifuzis akcepti ilin.

Inter la plej unuaj akceptitaj sinsekvoj, kiuj estas difinita per OEIS estis Ŝablono:Oeislig (poste Ŝablono:Oeislig). Ĝia elemento a(n) egalas elementon de la sinsekvo A_n sub numero n. Ĉi tiu sinsekvo stimulis serĉadon de novaj elementoj por la sinsekvo Ŝablono:Oeislig. Kelkaj sinsekvoj estas finiaj (la ŝlosilvorto fini) kaj estas prezentitaj tute (la ŝlosilvorto full), tiaj sinsekvojn eble ne havas elementon por A091967, do respektiva elemento de A091967 ne estas difinita, unuafoje tio okazas por n = 53.