Primara idealo

En ringo-teorio, primara idealo (Ŝablono:Lang-en, Ŝablono:Lang-fr) estas ĝeneraligo de la koncepto de prima idealo. Ĝi estas ĝeneraligo de la potencoj de primoj en la ringo de entjeroj.

Difino

Idealo $𝔮\subset R$ en komuta ringo $R$ estas primara, se ĝi plenumas la jenajn du aksiomojn.

• Por ĉiuj elementoj $x,y\in R$, se $xy\in 𝔮$, tiam aŭ $x\in Q$ aŭ $y^n\in Q$ por iu $n\in \mathbb{N}$.
• $𝔮\ne R$.

Ecoj

Ĉiu prima idealo estas primara idealo.

La radikalo de primara idealo estas prima idealo.

Se $𝔭$ estas prima idealo, tiam ĉia primara idealo, kies radikalo estas $𝔭$, nomiĝas $𝔭$-primara idealo.

Ekzemploj

En la ringo de entjeroj $\mathbb{Z}$, la primaraj idealoj estas la ĉefidealoj $(q)$, en kiu $q$ estas aŭ pozitiva potenco de primo $p^n$ ($n\in \{1,2,3,\dots \}$) aŭ nul.

Ekzemple, estu $𝔮=(125)$ en la ringo de entjeroj $\mathbb{Z}$. Supozu ke $xy\in 𝔮$ sed $x\notin 𝔮$. Tiam $125\mid xy$, sed 125 ne dividas x. Tial 5 devas dividi y, kaj tial iu potenco de y (konkrete $y^3$), devas esti en $𝔮$

Apliko

La koncepto de primaraj idealoj gravas en algebra geometrio: ĉiu idealo en Noether-a ringo havas la t.n. primaran malkomponiĝon, t.e. ĝi estas prezentebla kiel komunaĵo de finia familio de primaraj idealoj.

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:Citaĵo el la reto