Plenigo de kvadrato

Plenigo de kvadrato estas tekniko de rudimenta algebro en kio esprimo

x^{2} + b x + c

estas anstataŭigita per esprimo de la formo

(x + d)^{2} + e

Do:

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c & = & a (x^{2} + \frac{b x}{a}) + c \\ = & a (x^{2} + \frac{b x}{a} + (\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}})) + c \\ = & a (x^{2} + 2 \frac{b x}{2 a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = & a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \end{matrix}

Plenigo de kvadrato plisimpligas esprimon engaĝantan plenan kvadratan polinomon al engaĝantan nur kvadraton kaj konstanton.

Ekzemplo

Simpla ekzemplo estas:

x^{2} + 4 x = x^{2} + 4 x + 4 - 4 = (x + 2)^{2} - 4

Nun, konsideru la problemon de trovo de malderivaĵo de ĉi tio:

\int \frac{d x}{9 x^{2} - 90 x + 241} .

La denominatoro estas

9 x^{2} - 90 x + 241 = 9 (x^{2} - 10 x) + 241 .

Adicio de (10/2)² = 25 al x² - 10x donas perfektan kvadraton x² - 10x + 25 = (x - 5)². Do:

9 (x^{2} - 10 x) + 241 = 9 (x^{2} - 10 x + 25) + 241 - 9 (25) = 9 (x - 5)^{2} + 16 .

Kaj la malderivaĵo estas

\int \frac{d x}{9 x^{2} - 90 x + 241} = \frac{1}{9} \int \frac{d x}{(x - 5)^{2} + (4 / 3)^{2}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} \arctan \frac{3 (x - 5)}{4} + C .