Integralo de Euler

Integralo de Euler aŭ Eŭlera integralo estas kolekto da integraloj kun parametro. Integralo de unua speco estas funkcio β kaj de dua speco estas funkcio Γ.

1. Funkcio β:

   $\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt,\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{\Re }(x),\mathrm{\Re }(y)>0$

2. Funkcio Γ:

   $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$

Por pozitiva entjeroj m kaj n

$\mathrm{B}(n,m)=\frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}=\frac{n+m}{nm(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n})}$

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

Kunligoj inter funkcioj

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}si{n}^{2a+1}xco{s}^{2b+1}xdx=\frac{\mathrm{\Gamma }(a+1)\mathrm{\Gamma }(b+1)}{2\mathrm{\Gamma }(a+b+2)}=\frac{1}{2}\mathrm{B}(a+1,b+1)$

Vidu ankaŭ

• Leonhard Euler
• Funkcio φ
• Funkcio de Euler
• Funkcio de Fresnel
• Funkcio de Gauss