Funkcio de Euler

Normo de phi sur la kompleksa ebeno, kolorita tiel ke nigra=0, ruĝa=4

En matematiko, la funkcio de Euler definiĝas jene

$\varphi (q)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k)$

Nomita laŭ Leonhard Euler, ĝi estas prototipa ekzemplo de q-serio, modula funkcio, kaj provizas la prototipan ekzemplon de rilato inter kombinatoriko and kompleksa analitiko.

Proprecoj

La koeficiento $p(k)$ en la Maclaurin-a serio por $1/\varphi (q)$ estas la nombro de ĉiuj entjeraj partigoj de k. Tiel,

$\frac{1}{\varphi (q)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)q^k$

kie $p(k)$ estas la partiga funkcio de k.

La identaĵo de Euler (nomata ankaŭ kvinangula nombra teoremo) estas:

$\varphi (q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{(3n^2-n)/2}$ .

Rimarku ke $(3n^2-n)/2$ estas kvinangula nombro.

La funkcio de Euler rilatas al la funkcio eta de Dedekind per identaĵo de Ramanujan jene

$\varphi (q)=q^{-1/24}\eta (\tau )$

kie $q=e^{2\pi i\tau }$ estas la kvadrato de la nomeno (en:nome[1]).

Rimarku ke ambaū funkcioj havas la simetrion de la modula grupo.

Referencoj

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9