Funkcioj de Weierstrass

En matematiko la funkcioj de Weierstrass estas pluraj Ŝablono:J de kompleksa variablo kiuj estas akcesoraj al la elipsa funkcio de Weierstrass.

$\mathrm{\wp }(z)$

Sigmo-funkcio de Weierstrass

La sigmo-funkcio de Weierstrass asociita al du-dimensia fundamenta paro de periodoj (krado) $\mathrm{\Lambda }\subset ℂ$ estas difinita kiel produto

$\sigma (z;\mathrm{\Lambda })=z\prod _{w\in {\mathrm{\Lambda }}^{*}}(1-\frac{z}{w})e^{z/w+\frac{1}{2}(z/w{)}^2}$

kie ${\mathrm{\Lambda }}^{*}$ estas $\mathrm{\Lambda }-\{0\}$.

Zeto-funkcio de Weierstrass

La zeto-funkcio de Weierstrass estas difinita kiel sumo

$\zeta (z;\mathrm{\Lambda })=\frac{{\sigma }^{\prime }(z;\mathrm{\Lambda })}{\sigma (z;\mathrm{\Lambda })}=\frac{1}{z}+\sum _{w\in {\mathrm{\Lambda }}^{*}}(\frac{1}{z-w}+\frac{1}{w}+\frac{z}{w^2})$

La zeto-funkcio de Weierstrass estas surbaze de la logaritma derivaĵo de la sigmo-funkcio. La zeto-funkcio povas esti reskribita kiel:

$\zeta (z;\mathrm{\Lambda })=\frac{1}{z}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{𝒢}_{2k+2}(\mathrm{\Lambda })z^{2k+1}$

kie ${𝒢}_{2k+2}$ estas la serio de Eisenstein de pezo 2k+2.

La derivaĵo de la zeto-funkcio estas $-\mathrm{\wp }(z)$.

La zeto-funkcio de Weierstrass ne estu konfuzata kun la funkcio zeta de Riemann aŭ aliaj funkcioj ζ (zeta).

Eto-funkcio de Weierstrass

La eto-funkcio de Weierstrass estas difinita kiel

$\eta (w;\mathrm{\Lambda })=\zeta (z+w;\mathrm{\Lambda })-\zeta (z;\mathrm{\Lambda }),\text{ por ĉiu }z\in ℂ$

Povas esti pruvite ke ĉi tio estas bona difina, kio estas $\zeta (z+w;\mathrm{\Lambda })-\zeta (z;\mathrm{\Lambda })$ dependas nur de w.

La eto-funkcio de Weierstrass devas ne esti konfuzita kun la dedekinda eta funkcio.

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:Planetmath