Funkcio zeta de Riemann

Funkcio zeta de Riemann aŭ Funkcio zeta de Euler kaj Riemann aŭ Rimana ζ funkcio (skribite per greka litero ζ) aŭ Rimana funkcio zeto estas unu el Ŝablono:J, nomita laŭ Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:

$\zeta (z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{n}\right)}^z$

Serio estas konverĝa por valoroj de z, kies reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.

Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.

Ecoj

Por nombroj $z$ kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:

$\zeta (z)=2^z{\pi }^{1/z}\mathrm{\Gamma }(1-z)\zeta (1-z)$

kaj $\mathrm{\Gamma }$ estas funkcio Γ de Euler.

Diagramo de ζ(x)

Kelkaj valoroj

$\zeta (2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots =\frac{{\pi }^2}{6}$

$\zeta (4)=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots =\frac{{\pi }^4}{90}$

$\zeta (8)=1+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{3^8}+\dots =\frac{{\pi }^8}{9450}$

La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto

Ojler montris ke

$\zeta (z)=\prod _{\text{prima }p}{(1-\frac{1}{p^z})}^{-1}={(1-\frac{1}{2^z})}^{-1}{(1-\frac{1}{3^z})}^{-1}{(1-\frac{1}{5^z})}^{-1}\dots$

Ĉi tiu formulo veras por ĉiu $z$ kies reela parto estas pli ol $1$.

Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke

$\zeta (z)=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}\dots$ $⟹\zeta (z)\frac{1}{2^z}=\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{6^z}\dots$

Per subtraho, oni trovas

$\zeta (z)(1-\frac{1}{2^z})=1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{5^z}\dots$

En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,

$\zeta (z)(1-\frac{1}{2^z})\frac{1}{3^z}=\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{15^z}+\dots$

Alia subtraho vidigas ke

$\zeta (z)(1-\frac{1}{2^z})(1-\frac{1}{3^z})=1+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\dots$

Ĉiu nombro dividebla per $3$ estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per $3$. Simile,

$\zeta (z)(1-\frac{1}{2^z})(1-\frac{1}{3^z})(1-\frac{1}{5^z})=1+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{11^z}+\dots$

kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per $2,3$ aŭ $5$ (kaj nur tiuj).

Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto $\zeta (z)\prod _{\text{prima }p}(1-\frac{1}{p^z})$, kaj la dekstra nombra konverĝas al $1$. Oni tuj atingas la proponatan egalecon.

Rimarko: la serio kiu difinas $\zeta$ konverĝas absolute, se la reala parto de $z$ estas pli ol $1$. Tio permesas montri que la dekstra limito estas $1$.

Vidu ankaŭ

• ZetaGrid