Funkcio de Gudermannian

Funkcio de Gudermannian (nigra) kun ĝiaj asimptotoj y=±π/2 (bluaj).

En matematiko, funkcio de Gudermannian, nomita post Christoph Gudermann (1798 - 1852), donas interrilaton inter la trigonometriaj funkcioj kaj hiperbolaj funkcioj ne engaĝante kompleksajn nombrojn.

Ĝi estas difinita kiel

$\begin{array}{cc}\mathrm{g}\mathrm{d}(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dp}{\cosh (p)}=\\ & =\arcsin (\tanh (x))=\text{arccsc}(\coth (x))\\ & =\arccos (\text{sech}(x))=\text{arcsec}(\cosh (x))\\ & =\arctan (\sinh (x))=\text{arccot}(\text{csch}(x))\\ & =2\arctan (\tanh \left(\frac{x}{2}\right))=2\arctan (e^x)-\frac{\pi }{2}\end{array}$

Jenaj identoj veras:

$\sin (\text{gd}(x))=\tanh (x)$

$\csc (\text{gd}(x))=\coth (x)$

$\cos (\text{gd}(x))=\text{sech}(x)$

$\sec (\text{gd}(x))=\cosh (x)$

$\tan (\text{gd}(x))=\sinh (x)$

$\cot (\text{gd}(x))=\text{csch}(x)$

$\tan \left(\frac{\text{gd}(x)}{2}\right)=\tanh \left(\frac{x}{2}\right)$

La inversa funkcio de Gudermannian

La inversa funkcio de Gudermannian arcgd estas donita per

$\begin{array}{cc}\text{arcgd}(x)& ={\mathrm{g}\mathrm{d}}^{-1}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dp}{\cos (p)}=\\ & =\text{arccosh}(\sec (x))=\text{arctanh}(\sin (x))\\ & =\ln (\sec (x)(1+\sin (x)))\\ & =\ln (\tan (x)+\sec (x))=\ln \tan (\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})\\ & =\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin (x)}{1-\sin (x)}\end{array}$

La derivaĵoj estas

$\frac{d\text{gd}(x)}{dx}=\text{sech}(x)$

$\frac{d\text{arcgd}(x)}{dx}=\sec (x)$

Vidu ankaŭ

• Trigonometria funkcio
• Inversa trigonometria funkcio
• Hiperbola funkcio
• Inversa hiperbola funkcio
• Eksponenta funkcio
• Logaritmo
• Eŭlera formulo
• Hiperbola sekanta distribuo
• Projekcio de Mercator
• Tangenta duono-angula formulo

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:MathWorld