Freŝea spaco

En funkcionala analitiko, freŝea spaco estas kompleta loke konveksa spaco.

Difino

Freŝea spaco estas Hausdorff-a topologia vektora spaco $V$, kies topologio estas difinebla per kalkulebla familio de duonnormoj

$\Vert -{\Vert }_0,\Vert -{\Vert }_1,\Vert -{\Vert }_2,\dots :V\to {ℝ}_{\ge 0}$,

kaj kiu estas kompleta laŭ tiu familio.

Ĉi-supre, la topologio difinita de la familio de duonnormoj estas tia, ke subaro $U\subseteq V$ estas malfermita subaro se kaj nur se, por ĉiu $x\in U$, ekzistas pozitiva entjero $N\in {\mathbb{Z}}^{+}$ tia ke

$\{v\in V:\mathrm{\forall }i\ge N:\Vert v-x\Vert <1/N\}\subseteq U$.

Ĉi-supre, la topologio estas kompleta se kaj nur se ĉiu koŝia serio konverĝas; koŝia serio laŭ la familio de duonnormoj estas serio

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}v$

tia ke, por ĉiu $j$, la serio de la duonnormo $\Vert -{\Vert }_j$ konverĝas:

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert v_i{\Vert }_j<\mathrm{\infty }$.

Ekzemploj

Ĉiu banaĥa spaco estas freŝea spaco.

La spaco de glataj reelvaloraj funkcioj

${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(ℝ,ℝ)$

estas nature freŝea spaco per la serio de duonnormoj

$\Vert f{\Vert }_{k,n}=\underset{-n\le x\le n}{\max }\left|\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}f\right|$.

Ĉi tiu spaco ne estas banaĥa spaco.

Historio

La koncepto de freŝea spaco estas nomita laŭ la franca matematikisto kaj esperantisto Maurice René Fréchet (Esperante Maŭrico Renato Freŝeo).

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:Citaĵo el la reto