Derivaĵo (ekzemploj)

Por fono pli la temo, vidu artikolon derivaĵo (matematiko).

---

Ekzemplo 1

Estu f(x) = 5:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5-5}{h}=0$

La derivaĵo de konstanta funkcio estas nulo.

Ekzemplo 2

Konsideru grafikaĵon de $f(x)=2x-3$. Per algebro kaj la karteziaj koordinatoj, eblas difini ke ĉi tiu linio havas inklinon 2 je ĉiu punkto. Uzante la pli supran rilatumon oni povas difini la inklinon je (4,5):

$f^{\prime }(4)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(4+h)-f(4)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{8+2h-3-8+3}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2h}{h}=2$

kaj vere la derivaĵo kaj inklino estas ekvivalento.

Ekzemplo 3

Tra diferencialado, oni povas trovi inklinon de kurbo. Estu $f(x)=x^2$:

$f^{\prime }(x)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2xh+h^2}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x$

Por ĉiu punkto x, la inklino de la funkcio $f(x)=x^2$ estas $f^{\prime }(x)=2x$.

Ekzemplo 4

Estu f(x) = √x:

$f^{\prime }(x)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$
	$=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ekzemplo 5

La sama funkcio kiel en la antaŭa ekzemplo, sed nun oni serĉu derivaĵon de la derivaĵo.
Estu f(x) = √x:

$f^{″}(x)$	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+h}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(\frac{1}{2\sqrt{x+h}}-\frac{1}{2\sqrt{x}})(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x+h}}-\frac{2\sqrt{x+h}}{2\sqrt{x}}}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{x}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}-\frac{x+h}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{-h}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}}{h(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}(2\sqrt{x+h}+2\sqrt{x})}$
	$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-1}{2\sqrt{x}(x+h)+2x\sqrt{x+h}}$
	$=\frac{-1}{4x\sqrt{x}}$