Beta-funkcio

Ĉi tiu artikolo temas pri la Eŭlera beta-funkcio, konvencie skribata Β(x,y). Ekzistas ankaŭ aliaj beta-funkcioj en matematiko kaj fiziko.

La matematika beta-funkcio, alinome Eŭlera integralo de la unua speco, estas speciala funkcio, kiun oni difinas por kompleksaj nombroj x kaj y kun pozitiva reela parto:

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$

kiam

$\text{Re}(x),\text{Re}(y)>0$

La beta-funkcion studis Leonhard Euler kaj Adrien-Marie Legendre, kaj la nomon al ĝi donis Jacques Binet. Ekzistas ankaŭ ĝeneraligo de la funkcio, t.n. nekompleta beta-funkcio kaj ties variaĵo reguligita nekompleta beta-funkcio.

Ecoj de la funkcio

• : $\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x)$, t.e., la funkcio estas simetria.

• : $\mathrm{B}(x,y)\cdot \mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)},$

La funkcio povas esti prezentita ankaŭ per sekvaj formuloj

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

$\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta d\theta ,\mathrm{R}e(x)>0,\mathrm{R}e(y)>0$

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,\mathrm{R}e(x)>0,\mathrm{R}e(y)>0$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{1}{y}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(y{)}_{n+1}}{n!(x+n)}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{j}(x{)}_n=x(x-1)(x-2)\dots (x-n+1)$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{x+y}{xy}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1},$

Derivaĵo

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\mathrm{B}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))$

kie $\psi (x)$ estas la digamma-funkcio.

Aproksimaĵo

Oni povas aproksimi la beta-funkcion per la formulo de Stirling:

$\mathrm{B}(x,y)\sim \sqrt{2\pi }\frac{x^{x-\frac{1}{2}}{y}^{y-\frac{1}{2}}}{{\left(x+y\right)}^{x+y-\frac{1}{2}}}$

por grandaj: x kaj y.

Sed se x estas granda kaj y estas konstanta, tiam validas

$\mathrm{B}(x,y)\sim \mathrm{\Gamma }(y)x^{-y}.$

Nekompleta beta-funkcio

La nekompleta beta-funkcio, estas ĝeneraligo de la beta-funkcio kaj difinita kiel

$\mathrm{B}(x;a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt.$

Por x = 1, la nekompleta funkcio egalas al la kompleta funkcio.

Reguligita (senkompleta) beta-funkcio estas difinita kiel

$I_x(a,b)=\frac{\mathrm{B}(x;a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}.$

Integrante la formulon, oni ricevas por entjeraj a kaj b:

$I_x(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}\frac{(a+b-1)!}{j!(a+b-1-j)!}{x}^j(1-x{)}^{a+b-1-j}.$

Pri la reguligita beta-funkcio validas

$I_0(a,b)=0$

$I_1(a,b)=1$

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$