Apartigo de variabloj

En matematiko, apartigo de variabloj estas ĉiu el kelkaj manieroj de solvado de ordinaraj kaj partaj diferencialaj ekvacioj, en kiu algebro permesas reskribi la ekvaciojn tiel, ke ĉiu el du variabloj okazos en malsama flanko de la ekvacio.

Ordinaraj diferencialaj ekvacioj (ODE)

Supozu ke la diferenciala ekvacio povas esti skribita en la formo

$\frac{d}{dx}f(x)=g(x)h(f(x)),(1)$

kiun oni povas skribi pli simple per uzo de $y=f(x)$:

$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)(1).$

Oni povas reordigi la termojn por ricevi la jenon

$\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}=g(x)$

se $h(y)\ne 0$.

Integralante ambaŭ flankojn de la ekvacio je $x$, oni ricevas la jenon

$\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int g(x)dx+C(2)$

kiu estas ekvivalento de

$\int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx+C$

pro la anstataŭa regulo por integraloj.

Se oni povas komputi la du integralojn, oni povas trovi solvaĵo de la diferenciala ekvacio. Rimarku ke ĉi tiu procezo fakte permesas trakti la derivaĵon $\frac{dy}{dx}$ kiel frakcio kiu povas esti apartigita. Ĉi tio permesas solvi apartigeblajn diferencialajn ekvacioj pli oportune, kio demonstraciitas en la ekzemplo pli sube.

Notu ke, kiu oni ne bezonas uzi du konstantojn de integralado, en ekvacio (2) kiel en

$\int \frac{1}{h(y)}dy+C_1=\int g(x)dx+C_2,$

ĉar la sola konstanto $C=C_2-C_1$ estas ekvivalento.

Ekzemplo

La ordinara diferenciala ekvacio

$\frac{df(x)}{dx}=f(x)(1-f(x))$

povas esti skribita kiel

$\frac{dy}{dx}=y(1-y).$

Se oni estigu $g(x)=1$ kaj $h(y)=y(1-y)$, oni povas skribi la diferencialan ekvacion en la formo de ekvacio (1) pli supre. Tial, la diferenciala ekvacio estas apartigebla.

Per la pruvo pli supre, oni povas trakti $dy$ kaj $dx$ kiel apartaj valoroj, tiel ke ambaŭ flankoj de la ekvacio povas esti multiplikitaj per $dx$. Sekve dividante ambaŭ flankojn per $y(1-y)$, oni havas la jenon

$\frac{dy}{y(1-y)}=dx.$

Je ĉi tiu punkto oni havi apartigitajn la variablojn x kaj y unu de la alia, ĉar x aperas nur en la dekstra flanko de la ekvacio kaj y nur en la maldekstra.

Integralante ambaŭ flankojn, oni ricevas la jenon

$\int \frac{dy}{y(1-y)}=\int dx,$

kiu, tra partaj frakcioj, fariĝas

$\int \frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}dy=\int dx,$

kaj tiam

$\ln y-\ln (1-y)=x+C$

kie C estas la konstanto de integralado. Iom de algebro donas solvaĵon por y:

$y=\frac{1}{1+B{e}^{-x}}.$

Partaj diferencialaj ekvacioj (PDE)

Estu donita diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj de funkcio

$F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

de n variabloj.

Se la funkcio estas de formo

$F=F_1(x_1)\cdot F_2(x_2)\cdots F_n(x_n)$

aŭ

$F=f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots +f_n(x_n)$

ĉi tio traformigas la diferencialan ekvacion en partaj derivaĵoj en aron de ODE. Kutime, ĉiu nedependa variablo kreas apartigan konstanton, kiu ne povas esti difinita nur de la ekvacio mem.

Ekzemplo 1

Estu F(x, y, z) kaj jena PDE:

$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}=0(1)$

Ĉi tie

$F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)(2)$

tial la ekvacio (1) reformiĝas al

$\frac{dX}{dx}+\frac{dY}{dy}+\frac{dZ}{dz}=0$

(ĉar $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{dX}{dx}$).

Nun, ĉar X'(x) estas dependa nur de x kaj Y'(y) estas dependa nur de y kaj Z'(z) estas dependa nur de z ĉiu el la pertoj estas konstanto. Pli detale,

$\frac{dX}{dx}=c_1\frac{dY}{dy}=c_2\frac{dZ}{dz}=c_3(3)$

estas konstantoj c₁, c₂, c₃ kontentigaj je:

$c_1+c_2+c_3=0(4)$

(3) estas reale aro de tri ODE. En ĉi tiu okazo ili estas solveblaj per simpla integralado kiu donas la jenon

$F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_4(5)$

kie la integralada konstanto c₄ estas difinita per komencaj kondiĉoj.

Ekzemplo (II)

Konsideri la diferenciala ekvacio

${\mathrm{\nabla }}^{2}v+\lambda v=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}+\lambda v=0.$

Unua ni (strebi, kandidati) solvaĵoj de la (formo, formi)

$v=X(x)Y(y).$

Plej solvaĵoj estas ne de (tiu, ke, kiu) (formo, formi), sed aliaj solvaĵoj estas (sumoj, sumas) de (ĝenerale malfinie multaj) solvaĵoj de (tiu, ke, kiu) (formo, formi).

Anstataŭiganta,

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(X(x)Y(y))+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=$

$=X^{″}(x)Y(y)+X(x)Y^{″}(y)+\lambda X(x)Y(y)=0$

Dividi (rekte tra, entute) per X(x)

$=\frac{X^{″}(x)Y(y)}{X(x)}+\frac{X(x)Y^{″}(y)}{X(x)}+\frac{\lambda X(x)Y(y)}{X(x)}$

$=\frac{X^{″}(x)Y(y)}{X(x)}+Y^{″}(y)+\lambda Y(y)=0$

kaj tiam per Y(y)

$=\frac{X^{″}(x)}{X(x)}+\frac{Y^{″}(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}=0$

Nun X′&primo;(x)/X(x) estas funkcio de x nur, kiel estas (Y′&primo;(y)+λY(y))/Y(y), (do, tiel) estas apartigo (konstantoj, konstantas) (do, tiel)

$\frac{X^{″}(x)}{X(x)}=k=\frac{Y^{″}(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}$

kiu (klivas, fendas, forkiĝas) supren enen ordinaraj diferencialaj ekvacioj

$\frac{X^{″}(x)}{X(x)}=k$

$X^{″}(x)-kX(x)=0$

kaj

$\frac{Y^{″}(y)+\lambda Y(y)}{Y(y)}=k$

$Y^{″}(y)+(\lambda -k)Y(y)=0$

kiu ni povas solvi laŭe. Se la ekvacio kiel afektis originale estis randa valora problemo, unu devus uzi la donita rando (valoroj, valoras). Vidi (tiu, ke, kiu) artikolo por ekzemplo kiu uzas rando (valoroj, valoras).

Programaro

Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Bibliografio

• A. Don/Doña _Polyanin_ kaj V. F. _Zaitsev_, Gvidlibro de Akurataj Solvaĵoj por Ordinaraj Diferencialaj Ekvacioj, _Chapman_ & Koridoro/_CRC_ Premi, _Boca_ _Raton_, 2003 (2-a redakcio). ISBN 1-58488-297-2
• A. Don/Doña _Polyanin_, Gvidlibro de Linearaj Partaj Diferencialaj Ekvacioj por (Inĝenieroj, Inĝenieras) kaj (Sciencistoj, Sciencistas), _Chapman_ & Koridoro/_CRC_ Premi, _Boca_ _Raton_, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Eksteraj ligoj

• Manieroj de Ĝeneraligis kaj (Funkcionalo, Funkcia) Apartigo de (Variabloj, Variablas) je _EqWorld_: La Mondo de Matematikaj Ekvacioj.