Kvadrata funkcio

*f(x) = x² - x - 2 = (x+1)(x−2)*.
La radikoj estas -1 kaj 2.

En matematiko, kvadrata funkcio estas polinoma funkcio de la grado 2, do de formo:

f(x)=ax²+bx+c

kie a≠0.

Ekvacio en kiu la kvadrata funkcio estas egala al nulo estas la kvadrata ekvacio. La solvaĵoj (radikoj) de la ekvacio estas nuloj de la funkcio.

Radikoj

Kvadrata ekvacio estas solvebla per la metodo plenigo de kvadrato.

La du radikoj de la kvadrata ekvacio ax²+bx+c=0, kie a≠0, estas:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Estu diskriminanto D = b²-4ac. Tiam:

Se D = 0 do la du radikoj estas egalaj pro tio ke √D estas nulo, aŭ ĉi tio povas esti konsiderata kiel ekzisto de unu radiko de obleco 2.
Se D ≠ 0 kaj se konsideri nur reelajn valorojn x do (a, b kaj c estas reelaj):
- Se D > 0 do estas du malsamaj radikoj pro tio ke √D estas pozitiva reela nombro.
- Se D < 0 do la radikoj forestas.
Se D ≠ 0 kaj se konsideri kompleksajn valorojn x do nepre estas du malsamaj radikoj.
- Se a, b kaj c estas reelaj kaj D > 0 do estas du malsamaj radikoj pro tio ke √D estas pozitiva reela nombro.
- Se a, b kaj c estas reelaj kaj D < 0 do la du radikoj estas kompleksaj konjugitoj ĉar √D estas pure imaginara.
- Se a, b kaj c estas kompleksaj en ĝenerala okazo, la radikoj estas du diversaj kompleksaj nombroj.

Estu la radikoj (eble kompleksaj):

r_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

r_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Tiam oni povas faktorigi la funkcion:

f(x) = ax²+bx+c = a (x - r₁) (x - r₂)

Formuloj de Viète

Formuloj de Viète donas simplajn rilatojn inter radikoj kaj koeficientoj de la funkcio.

r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a}

r_{1} \cdot r_{2} = \frac{c}{a}

La formuloj estas faritaj de François Viète. Ŝablono:-

Grafikaĵo

La grafikaĵo de reela kvadrata funkcio estas parabolo kies simetria akso estas paralela al la y-akso.

f(x) = ax² + x por a el {0,1, 0,3, 1, 3}
Okazis eraro ĉe kreado de antaŭvida bildeto: f(x) = x² + bx por b el {1, 2, 3, 4}
Dosiero:Function x^2-(1 to 4)x.jpg f(x) = x² + bx por b el {-1, -2, -3, -4}

Se a > 0 la parabolo havas branĉoj supren. Se a < 0 la parabolo havas branĉoj suben.

La koeficiento a regas la rapidon de pligrandiĝo de la funkcio ekde la vertico, pli granda pozitiva a faras la funkcion pligrandiĝantan pli rapide kaj la grafikaĵon pli fermitan.

La koeficiento b sola estas la inklino de la parabolo je sekco kun la y-akso.

La koeficientoj a kaj b kune regas la x-koordinaton de la vertico, aŭ la simetriakson de la parabolo.

La koeficiento c sola estas la y-koordinato de sekco de la parabolo kun la y-akso, aŭ ĝenerale ĝi regas alto de la parabolo.

La x-koordinatoj de sekco de la parabolo y=f(x) kun la x-akso estas radikoj de la ekvacio f(x)=0.

La vertico de parabolo estas la loko kie ĝi turnas sian direkton de supren al suben aŭ reen, ĝi estas nomata ankaŭ kiel la turnopunkto.

La funkcio povas esti skribita ankaŭ en la norma formo aŭ vertica formo:

f(x) = a(x-h)² + k

Tiam la vertico estas (h, k).

Se

f(x)=ax²+bx+c

do

f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

kaj la vertico estas:

(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a})

aŭ

(\frac{r_{1} + r_{2}}{2}, f (\frac{r_{1} + r_{2}}{2}))

La vertico estas ankaŭ la maksimuma punkto se a < 0 kaj la minimuma punkto se a > 0.

La vertikalo (paralelo al la y-akso), kiu pasas tra la vertico, difinita per:

x=h

aŭ

x = - \frac{b}{2 a}

estas simetriakso de la parabolo.

Kvadrata radiko de kvadrata funkcio

La kvadrata radiko de kvadrata funkcio priskribas elipson aŭ al hiperbolon (por reelaj x kaj y).

Estu ekvacio:

y = \pm \sqrt{a x^{2} + b x + c}

aŭ ekvivalente:

y^{2} = a x^{2} + b x + c

Se a<0 do la ekvacio priskribas elipson aŭ nenion.
- Se la y-koordinato de la maksimuma punkto de la respektiva parabolo $y_{p} = a x^{2} + b x + c$ estas pozitiva, tiam la ekvacio priskribas elipson.
- Se la y-koordinato estas negativa tiam la ekvacio priskribas malplenan aron de punktoj.

Se a>0 do la ekvacio priskribas hiperbolon. La akso de la hiperbolo estas difinita per la y-koordinato de la minimuma punkto de la respektiva parabolo yp=ax2+bx+c.
- Se la y-koordinato estas negativa, do la hiperbola akso estas horizontala.
- Se la y-koordinato estas pozitiva, do la hiperbola akso estas vertikala.

Multvariabla kvadrata funkcio

Multvariabla kvadrata funkcio estas polinoma funkcio de la grado 2 de D+1 variabloj, en koordinatoj ${x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{D}}$ en D+1-dimensia spaco ĝi estas

\sum_{i, j = 0}^{D} Q_{i, j} x_{i} x_{j} + \sum_{i = 0}^{D} P_{i} x_{i} + R = 0

kie Q estas D+1 dimensia kvadrata matrico ne egala al la nula matrico kaj P estas D+1 dimensia vektoro kaj R estas nombro. Ĝenerale, la loko de nuloj de ĉi tia funkcio estas kvadriko.

Duvariabla kvadrata funkcio estas polinoma funkcio de la grado 2 de du variabloj, do de formo:

f(x,y) = A x² + B y² + C x + D y + E x y + F

La funkcio priskribas kvadratan surfacon z=f(x,y). Ekvacio f(x,y)=0 priskribas la komunaĵon de la surfaco kun la ebeno z=0, kiu komunaĵo estas koniko.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Ŝablono:MathWorld

Kvadrata funkcio

Enhavo

Radikoj

Formuloj de Viète

Grafikaĵo

Kvadrata radiko de kvadrata funkcio

Multvariabla kvadrata funkcio

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Navigada menuo

Kvadrata funkcio

Radikoj

Formuloj de Viète

Grafikaĵo

Kvadrata radiko de kvadrata funkcio

Multvariabla kvadrata funkcio

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Navigada menuo

Serĉi