Formuloj de Viète

En matematiko, formuloj de Viète estas formuloj kiuj ligas koeficientoj de polinomo kun ĝiaj radikoj. La formuloj estas faritaj de François Viète.

Estu polinomo

$x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+...+a_n,$

kun radikoj ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$, ĉiu radiko estas listigata en kvanto egala al ĝia obleco.

Tiam la koeficientoj $a_1,\dots ,a_n$ estas simetriaj funkcioj de la radikoj:

$a_1=-({\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_n)$

$a_2={\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_1{\alpha }_3+\dots +{\alpha }_1{\alpha }_n+{\alpha }_2{\alpha }_3+\dots +{\alpha }_{n-1}{\alpha }_n$

$a_3=-({\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3+{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_4+\dots +{\alpha }_{n-2}{\alpha }_{n-1}{\alpha }_n)$

...

$a_{n-1}=(-1{)}^{n-1}({\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_{n-1}+{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_{n-2}{\alpha }_n+\dots +{\alpha }_2{\alpha }_3...{\alpha }_n)$

$a_n=(-1{)}^n{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_n$

Alivorte, $(-1{)}^k{a}_k$ egalas al sumo de ĉiuj eblaj produtoj de k radikoj (estas prenataj nur radikoj kun diversaj indeksoj).

El la formuloj sekvas ke se ĉiuj radikoj estas entjeroj do ĉiuj koeficientoj estas entjeroj, kaj $a_n$ dividiĝas per ĉiu el la radikoj.

Se la koeficiento $a_0\ne 1$, do por uzo de la formulo necesas dividi la tutan polinomon je $a_0$, tiam la radikoj ne ŝanĝiĝas.

Por kvadrata ekvacio

ax²+bx+c=0

kun radikoj r₁ kaj r₂

$r_1+r_2=-\frac{b}{a}$

$r_1\cdot r_2=\frac{c}{a}$

Pruvo

La formuloj povas esti pruvitaj per konsidero de egaleco

$x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+...+a_n=(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)\cdots (x-{\alpha }_n)$

kie la dekstra flanko estas la faktorigita formo de la polinomo.

Post multipliko de eroj de la dekstra flanko, koeficientoj ĉe egalaj potencoj de x devas esti egalaj, el kio sekvas la formuloj de Viète.

Vidu ankaŭ

• Ĉe kvadrata matrico, spuro kaj determinanto estas ligitaj per similaj formuloj kun ejgenoj.