Metodo de Rajse

Metodo de Rajse (integralo de Norlundo-Rajse) estas integralo bindas $n$ fina diferenco kun kurba integralo en komplekso ebeno.

Integro

Por Ŝablono:Alilingve $f$ noa fina diferenco ${\mathrm{\Delta }}^n[f](x)$ povas bildigi kiel

${\mathrm{\Delta }}^n[f](x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^{n-k}f(x+k),$

kie

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ — binoma koeficiento.

Transpasas al integradon en ĉirkaŭaĵo poluso punktoj $\alpha \dots n$ kaj ĉe kondiĉo, ke funkcio $f$ ne havas polusojn, sekvas

$\sum _{k=\alpha }^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^{n-k}f(k)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{z(z-1)(z-2)\dots (z-n)}dz$

для $0⩽\alpha ⩽n(\alpha \in \mathbb{N})$.

Ni povas skribi la integralo kiel

$\sum _{k=\alpha }^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^{k}f(k)=-\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }B(n+1,-z)f(z)dz,$

kie

$B(a,b)$ — Beta-funkcio de Eŭler.

Iteracio de Poisson-Mellin-Neŭton

Se $\{f_n\}$ — ia vico kaj se $g(t)$ — ia Ŝablono:Alilingve, kaj se $g(t)=e^{-t}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n{t}^n,$ do

UzatneKonverto de Mellin, ricevas, ke

$\varphi (s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(t)t^{s-1}dt.$

Tiam ni povas trovas originala vico kun helpo de integralo de Norlundo-Rajse:

$f_n=\frac{(-1{)}^n}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{\varphi (s)}{\mathrm{\Gamma }(-s)}\frac{n!}{s(s-1)\cdots (s-n)}ds,$

kie

$\mathrm{\Gamma }$ — Γ-funkcio.

Literaturo

• Niels Erik Nörlund, Vorlesungen uber Differenzenrechnung, (1954) Chelsea Publishing Company, New York.
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, (1973), Vol. 3 Addison-Wesley.
• Philippe Flajolet and Robert Sedgewick, «Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice’s integralsŜablono:404», Theoretical Computer Science 144 (1995) pp 101—124.
• Peter Kirschenhofer, «A Note on Alternating Sums», The Electronic Journal of Combinatorics, Volume 3 (1996) Issue 2 Article 7.