Ambaŭflanka laplaca transformo

Ambaŭflanka laplaca transformo estas integrala transformo, ligita kun la furiera transformo, la transformo de Mellin kaj kun la kutima laplaca transformo.

Priskribo

Se $f(x)$ estas reela aŭ kompleksa funkcio de reela variablo $t\in R$, do ambaŭflanka laplaca transformo $ℬ\{f(t)\}$ rezultas je la jena formulo:

$ℬ\{f(t)\}=F(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

La integralo en tiu integro subkomprenas malpropran kaj konverĝan tiam, kiam ekzistas: $\{\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt\\ \\ \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt\end{array}$

Kelkfoje tiaj integraloj skribeblas kiel:

$𝒯\{f(t)\}=sℬ\left\{f\right\}=sF(s)=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

En ĝenerala okazo la variablo $t$ povas esti kompleksa variablo.

Rilato kun aliaj integralaj transformoj

• Se $u(t)$ estas funkcio de Hevisajde, de normala laplaca transformo $ℒ$, ĝi povas esprimi pere de ambaŭflanka transformo kiel:

$ℒ\{f(t)\}=ℬ\{f(t)u(t)\}.$

Kaj reen:

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℒf(t)\}(s)+\{ℒf(-t)\}(-s).$

• Transformo de Mellin povas esprimi pere de ambaŭflanka transformo kiel:

$\left\{ℳf\right\}(s)=\{ℬf(e^{-x})\}(s)$

Kaj reen:

$\left\{ℬf\right\}(s)=\{ℳf(-\ln x)\}(s).$

• Furiera transformo povas esprimi pere de ambaŭflanka transformom kiel:

$\left\{ℬf\right\}(s)=\left\{ℱf\right\}(-is).$

Atributoj

Atributoj de Laplaca transformo

	Tempa regiono	Unuflanka regiono	Ambaŭflnka regiono
Unua derivaĵo	$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0)$	$sF(s)$
Dua derivaĵo	$f^{″}(t)$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$	$s^{2}F(s)$

Literaturo

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987