Mezuro (matematiko)

Mezuro asignas nenegativan reelon aŭ nefinion al ĉiu aro en sigma-alĝebro.

En analitiko, mezuro estas funkcio, kiu asignas al ĉiu mezurebla aro (elemento de sigma-alĝebro) nenegativan reelon aŭ nefinion, laŭ ia koncepto de “grandeco” (longo, areo, volumeno ktp.) de tiuj aroj.

Difino

Supozu, ke $\mathrm{\Sigma }$ estas sigma-alĝebro super la aro $X$. Do, mezuro super $\mathrm{\Sigma }$ estas funkcio

$\mu :\mathrm{\Sigma }\to [0,\mathrm{\infty }]$

kiu plenumas la ĉi-suban aksiomon (kalkuleblan sumecon):

• Por ajna kalkulebla kolekto $(S_i{)}_{i\in I}$ de elementoj de $\mathrm{\Sigma }$, se ili estas senkomunaĵaj (t.e. pri ajna $i,j\in I$, se $i\ne j$, do $S_i\cap S_j=\varnothing$), do la mezuro de la kunaĵoj estas la sumo de la mezuroj:
• :$\mu \left(\bigcup _{i\in I}{S}_i\right)=\sum _{i\in I}\mu (S_i)$.

Specife, se $I=\varnothing$, do $\mu (\varnothing )=0$.

Ekzemploj

Sur ajna sigma-alĝebro $\mathrm{\Sigma }$ sur ajna aro, oni povas difini la kalkulan mezuron:

${\mu }_{\text{kalk}}(S)=\{\begin{array}{cc}|S|& |S|<{\mathrm{\aleph }}_0\\ \mathrm{\infty }& |S|\ge {\mathrm{\aleph }}_0\end{array}$

Sur ajna sigma-alĝebro $\mathrm{\Sigma }$ sur ajna aro, oni povas difini la trivialan mezuron:

${\mu }_{\text{triv}}(S)=0$.

Sur la reela linio (aŭ, pli ĝenerale, ajnadimensia eŭklida spaco), oni povas difini la sigma-alĝebron de Lebesgue-mezureblaj aroj kaj sur tiuj la mezuron de Lebesgue.

Vidu ankaŭ

• Lebega mezuro
• Mezurebla funkcio

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:Mathworld