Meznombra valora teoremo

Teoremo de Lagrange

Meznombra valora teoremo, konata ankaŭ kiel teoremo de Lagrange estas teoremo uzata en analitiko.

Estu $f:[a,b]\to ℝ$ kontinua en $[a,b]$ kaj derivebla en $(a,b)$; tiam $\mathrm{\exists }c\in (a,b):f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Pruvo

Por la pruvo oni necesas funkcion, al kiu la teoremo de Rolle aplikeblas. Oni konstruu funkcion $h(x)$ tiel, ke en la intervalo $[a,b]$ estas kontinua, derivebla kaj $h(a)=h(b)$: $h(x)=f(x)+kx$, kie $k$ estas determinenda konstanta por ke la teoremo de Rolle estas valida: $h(a)=f(a)+ka$ kaj $h(b)=f(b)+kb$. Ĉar $h(a)=h(b)$, tial $f(a)+ka=f(b)+kb$. Do $k=-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. La funkcio estas $h(x)=f(x)+-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}kx$. Oni apliku la teoremon de Rolle kaj derivu la funkcion: $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Se la funkcio estas kontinua, derivebla kaj $f(a)=f(b)$, tiam $\mathrm{\exists }c\in (a,b):f^{\prime }(c)=0$. Do ekzistus $c\in (a,b)$ tiel, ke $h^{\prime }(c)=0$, tiel ke $f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$. La meznombra valora teoremo estas pruvata.