Teorio de Landau

La teorio de Landau estas makroskopa teorio de faztransiro far Lev Landau. Ĝi kalkulas la kritajn eksponentojn de dua-orda faztransiroj el du aksiomoj:

1. La libera energio de la sistemo estas analitika;
2. La libera energio sekvas la simetriojn de la hamiltoniano.

Difino

Konsideru makroskopan sistemon kun faztransiro ĉe temperaturo $T_0$: la sistemo estas senorda ĉe $T>T_0$ kaj orda ĉe $T<T_0$. Elektu ordo-parametron $m$ kiu

• nulas ĉe $T>T_0$
• ne nulas ĉe $T<T_0$.

Alivorte, $m$ estas mezuro de la ordo de la sistemo.

La libera energio $F$ de la sistemo (la helmholca libera energio se ni supozas la kanonan ensemblon) estas

$\exp (-F\beta )=Z=\sum _i\exp (-E_i\beta )$.

Ni uzu la proksimumadon de la averaĝa kampo kaj supozu ke

$Z(T,m)=\exp (-F_0(T))\int \mathrm{D}m\exp (-F_{\mathrm{L}}(T,m))$.

Do ni uzu la selan proksimumadon

$\int \mathrm{D}m\exp (-F_{\mathrm{L}}(T,m))\approx \exp (-F_{\mathrm{L}}(T,m_{\min }))$

kie $m_{\min }$ estas la minimumejo de $F_{\mathrm{L}}(T,m)$. Do

$A=F_0(T)+F_{\mathrm{L}}(T,m_{\min })$.

Ni supozu ke $F_{\mathrm{L}}(T,m)$ analitike dependas de $T$ kaj $m$ kaj sekvas la simetriojn de la sistemo. Do ni skribu la plej ĝeneralan analitikan serion por $A_{\mathrm{L}}$ kaj solvu por $m_{\min }$.

Ekzemplo: Modelo de Ising

La modelo de Ising, kiu modelas magneton kun spinoj $s_i=\pm 1$, havas faztransiron por du aŭ pli multaj dimensioj. La kutima ordo-parametro estas la magnetado $M=⟨s⟩$, kiu estas averaĝo de la spinoj. La modelo de Ising estas simetria per la inversigo de ĉiuj spinoj, k.e. $M\mapsto -M$.

La esprimo por la libera energio $F(M)$ estas do

$F_{\mathrm{L}}(T,M)=\frac{1}{2}a(T-T_0)M^2+\frac{1}{4}b{M}^4+\cdots$.

Observu ke ne ekzistas termo kun nepara eksponento de $M$ ($M$, $M^3$, ktp.) ĉar la simetrio $M\mapsto -M$. Supozante ke $a,b>0$ kaj neglektante alta-ordajn termojn, la minimumejo de $F$ estas

$M_{\min }=\{\begin{array}{cc}0& \text{se }T\ge T_0\\ \pm \sqrt{a(T_0-T)/b}& \text{se }T\le T_0.\end{array}$

La minimumo de $F_{\mathrm{L}}$ estas

$F_{\mathrm{L}}(T,M_{\min })=\{\begin{array}{cc}0& \text{se }T\ge T_0\\ -a^2(T-T_0{)}^2/4b& \text{se }T\le T_0.\end{array}$

Ni vidas ke:

• Ekzistas faztransiro ĉe $T=T_0$. La faztransiro estad dua-orda: la ordo de la faztransiro estas minimuma la eksponento $n$ tia ke $(\partial /\partial T{)}^{n}F$ ne kontinuas.
• Sub $T_0$, la simetrio $M\to -M$ spontanee rompiĝas, ĉar $M_{\min }\ne 0$.
• La krita eksponento $\beta$ estas la eksponento tia ke $M\propto (T-T_0{)}^{\beta }$ sub la faztransira temperaturo. La teorio de Landau prognozas ke $\beta =1/2$. (Fakte, $\beta \approx 1/3$.)

Referencoj

• K Huang, Statistical mechanics (statistika mekaniko), 2a eld., Wiley, 1987. ISBN 0-471-81518-7
• "Landau theory of phase transitions", SklogWiki
• PD Olmsted, Lectures on Landau theory of phase transitionsŜablono:404
• MC Cross, "Landau theory of second order phase transitions" Ŝablono:Webarchiv (notoj el Caltech)
• IR Yukhnovskii, Phase transitions of the second order: collective variables method, World Scientific, 1987. ISBN 9971-50-087-6