Teoremo de Poisson

Teoremo de Poisson estas teoremo en probablo-teorio.

Integro

Se ekzistas vico de provo de Bernoulli kaj se $p_n$ estas probablo de «sukceso», kaj ${\mu }_n$ nombro de «sukcesoj»,

Se

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n=0;$
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{p}_n=\lambda ;$
3. $\lambda >0;$

do

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\omega :{\mu }_n(\omega )=m)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^m}{m!}.$

Pruvo

Uzante formulon de Bernoulli, devas esti, ke

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\omega :{\mu }_n(\omega )=m)=C_n^m(p_n{)}^m(1-p{)}^{n-m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}(\frac{\lambda }{n}+o(\frac{\lambda }{n}\left){)}^m\right(1-\frac{\lambda }{n}-o\left(\frac{\lambda }{n}\right){)}^{n-m}=$

$=\frac{1}{m}\frac{(n-m+1)(n-m+2)\dots n}{n^m}(\frac{\lambda }{n}+o(\frac{\lambda }{n}\left){)}^m\right(1-\frac{\lambda }{n}-o\left(\frac{\lambda }{n}\right){)}^{n-m},$

ĉar

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n{p}_n=\lambda \iff p_n=\frac{\lambda }{n}+o\left(\frac{\lambda }{n}\right)$

ĉe

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{o\left(\frac{\lambda }{n}\right)}{\frac{\lambda }{n}}=0.$

Sed ĉar

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n-m+1)(n-m+2)\dots n}{n^m}=\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n-m+1)}{n}\right)\cdot \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n-m+2)}{n}\right)\cdot \dots \cdot \left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n)}{n}\right)=1;$
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\lambda +o(\lambda ){)}^m={\lambda }^m;$
3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-\frac{\lambda }{n}-o(\frac{\lambda }{n}\left)\right)=e^{-\lambda },$

ĉe devita egalaĵo turniĝas en

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\omega :{\mu }_n(\omega )=m)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^m}{m!}.$

Q.E.D.