Sumado de Borel

La sumado de Borel estas metodo pro kalkuli sumon de malkonverĝa serio, eltrovita de la franca matematikisto Émile Borel (1871-1956, ne la samtempa, samlanda franca esperantisto Émile Borel) en 1899.

Difino

Konsideru formalan potencan serion

$a(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$.

Difinu la konverton de Borel de $a(x)$ kiel jenon:

$ℬa(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n!}{x}^n$

kie $n!$ signifas la faktorialon. Difinu la sumon de Borel de $a(x)$ kiel jenon (se ĝi ekzistas):

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}t\exp (-t)ℬa(tx)$.

Se la ordinara sumo de $a(x)$ ekzistas (t.e., se $a(x)$ konverĝas), do la sumo de Borel ankaŭe ekzistas kaj la du sumoj koincidas:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}t\exp (-t)ℬa(tx)$

$=\sum _n\frac{a_n{x}^n}{n!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}t\exp (-t)t^n$

$=\sum _n\frac{a_n{x}^n}{n!}\cdot n!$

$=\sum _n{a}_n{x}^n$.

Ekzemploj

Konsideru la serion

$a(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$.

La serio evidente konverĝas se kaj nur se $|x|<1$. La konverto de Borel estas

$ℬa(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=\exp (x)$.

La sumo de Borel estas

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}t\exp (-t)ℬa(tx)$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}t\exp ((x-1)t)$

$=\frac{1}{1-x}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{d}t\exp ((x-1)t)$

$=\frac{1}{1-x}$

kiu ekzistas se $\mathrm{\Re }x<1$.

Aplikaĵoj

La sumado de Borel estas uzata en la teorio de perturbo en kvantuma kampa teorio sumi malkonverĝan serion de diagramoj de Feynman. La polusoj de la konverto de Borel signifas efektojn neperturbajn.

Referencoj

• Ŝablono:Citation
• Ŝablono:Citation
• Ŝablono:Citation
• Ŝablono:Citation
• Ŝablono:Citation
• Ŝablono:Citation