Simbolo de Legendre

La símbolo de Legendre, $(\frac{a}{p})$ , estas multiplika funkcio uzata en nombroteorio, pri kiu argumentoj estas entjera nombro $a$ kaj prima nombro $p$ , kaj valoras 1, -1 aŭ 0, dependante ĉu $a$ estas, aŭ ne, kvadrata restaĵo module $p$ , ĉi tiu difinita per la kongrua rilato inter a kaj estanta, aŭ ne, nombro x, tielmaniere ke:

x^{2} \equiv a (\mod p)

.

Tiu simbolo estis kreita de Adrien-Marie Legendre en 1798^[1].

La Jakobia simbolo estas ĝeneraligo de simbolo de Legendre, pri kiu p estas iu ajn pozitiva nepara nombro.

Difino

Konsiderante ĉiuj entjerojn $a$ kaj ĉiuj neparaj primojn $p$ , simbolo de Legendre $(\frac{a}{p})$ estas difinita per:

(\frac{a}{p}) = {\begin{matrix} 1 se a estas kvadrata restaĵo laŭ modulo p kaj a \equiv̸ 0 (\mod p) \\ - 1 se a ne estas kvadrata restaĵo laŭ modulo p \\ 0 se a \equiv 0 (\mod p), t.e. a estas oblo de p . \end{matrix}

La origina difino de Legendre estis per la eksplicita formulado:

(\frac{a}{p}) \equiv a^{(p - 1) / 2} (\mod p) kaj (\frac{a}{p}) \in {- 1, 0, 1} .

Laŭ la kriterio de Eŭlero, kiu estis eltrovita antaŭe kaj estis konita de Legendre, tiuj du supraj difinoj estas ekvivalentaj^[2].

* 2 estas kvadrata restaĵo modulo 7, ĉar

2 \equiv 3^{2} (\mod 7)

, kaj la kalkulo laŭ la difino de Legendre kondukas al :

(\frac{2}{7}) \equiv 2^{\frac{7 - 1}{2}} = 2^{3} \equiv 1 mod 7 .

* 5 ne estas kvadrata restaĵo modulo 7 :

(\frac{5}{7}) \equiv 5^{\frac{7 - 1}{2}} = 5^{3} \equiv 6 \equiv - 1 mod 7 .

* 14 estas dividebla per 7 :

(\frac{14}{7}) \equiv 1 4^{\frac{7 - 1}{2}} = 1 4^{3} \equiv 0 mod 7 .

$(\frac{a b}{p}) = (\frac{a}{p}) (\frac{b}{p})$ (la simbolo de Legendre estas do multiplika funkcio rilate al sia supera argumento);

fakte, $(\frac{a b}{p}) = (a b)^{\frac{p - 1}{2}} = a^{\frac{p - 1}{2}} b^{\frac{p - 1}{2}} = (\frac{a}{p}) (\frac{b}{p})$ .

Se $a \equiv b (\mod p)$ , do $(\frac{a}{p}) = (\frac{b}{p})$ .
$(\frac{1}{p}) = 1$ , ĉar 1 estas kvadrato si mem.
$(\frac{- 1}{p}) = (- 1)^{(\frac{p - 1}{2})} = {\begin{matrix} 1 se p \equiv 1 (\mod 4) \\ - 1 se p \equiv 3 (\mod 4) . \end{matrix}$ (aparta kazo de -1).

$(\frac{2}{p}) = (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8}} = {\begin{matrix} 1 se p \equiv 1 ou 7 (\mod 8) \\ - 1 se p \equiv 3 ou 5 (\mod 8) . \end{matrix}$ (aparta kazo de 2).

$(\frac{a}{2}) = 1$ se $a$ estas nepara nombro, kaj $0$ se para.
Se $q$ estas nepara primo, do $(\frac{q}{p}) = (\frac{p}{q}) (- 1)^{(\frac{p - 1}{2}) (\frac{q - 1}{2})};$

la lasta propreco estas konata sub la nomo de leĝo de kvadrata reciprokeco.

↑ A. M. Legendre Essai sur la theorie des nombres (Eseo pri la nombroteorio) Parizo 1798, p 186
↑ Hardy & Wright, Thm. 83.