Ringa homomorfio

Ŝablono:Algebraj strukturoj En ringo-teorio, ringa homomorfio estas funkcio inter du ringoj konservanta la algebran strukturon (adicion kaj multiplikon) de la ringoj.

Difino

Se $(R,0_R,+,\cdot )$ kaj $(S,0_S,+,\cdot )$ estas ringoj, tiam homomorfio de $R$ al $S$ estas funkcio $f:R\to S$ plenumanta la jenajn aksiomojn:

• $f:(R,0_R,+)\to (S,0_S,+)$ estas grupa homomorfio inter komutaj grupoj. Alivorte, $f(r+r^{\prime })=f(r)+f(r^{\prime })$ por iuj ajn $r,r^{\prime }\in R$. (Aŭtomate, do, $f(0_R)=0_S$, kaj $f(-r)=-f(r)$.)
• $f:(R,\cdot )\to (S,\cdot )$ estas homomorfio inter duongrupoj. Alivorte, $f(r\cdot r^{\prime })=f(r)\cdot f(r^{\prime })$ por iuj ajn $r,r^{\prime }\in R$.

En la kunteksto de unuohavaj ringoj oni ofte aldonas la postulon ke la funkcio ankaŭ konservu la unuon (t.e. multiplikan neŭtralan elementon). Pli detale:

Se $(R,0_R,+,1_R,\cdot )$ kaj $(S,0_S,+,1_S,\cdot )$ estas unuohavaj ringoj, homomorfio de $R$ al $S$ estas funkcio $f:R\to S$ plenumanta la du suprajn aksiomojn kaj aldone:

• La bildo de unuo estu unuo, t.e. $f(1_R)=1_S$.

Ekzemploj

Por iu ringo R, estu

$f:R\to R^{2\times 2}$

$r\mapsto f(r)=\left[\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

Tiam $f$ plenumas la unuajn du postulojn por ringa homomorfio, sed

$f(1_R)=\left[\begin{array}{cc}{1}_R& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{cc}{1}_R& 0\\ 0& 1_R\end{array}\right]=1_{R^{2\times 2}}$

do la bildo de la unuo en $R$ ne estas la unuo en $R^{2\times 2}$, kaj $f$ ne estas homomorfio de unuohavaj ringoj.

Alia funkcio

$g:R\to R^{2\times 2}$

$r\mapsto g(r)=\left[\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right]$

plenumas la unuajn du postulojn por ringa homomorfio, kaj ankaŭ

$g(1_R)=\left[\begin{array}{cc}{1}_R& 0\\ 0& 1_R\end{array}\right]=1_{R^{2\times 2}}$

do $g$ estas homomorfio de unuohavaj ringoj.

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:Mathworld