Rimana sfero

La kompleksa ebeno povas esti etendita per unu plia nombro $\mathrm{\infty }$. La modelo de la etendita kompleksa ebeno estas la 2-dimensia sfero, kaj oni nomas tiun modelon la Rimana sfero. Ĉi tiun modelon oni ofte traktas kiel 1-dimensia kompleksa sternaĵo. Ofte oni ne distingas inter Rimana sfero aŭ etendita kompleksa ebeno (aŭ etenditaj kompleksaj nombroj).

Etenditaj kompleksaj nombroj

La aro de etenditaj kompleksaj nombroj estas $\overline{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$. Oni ankaŭ skribas ĝin $\widehat{ℂ}$ aŭ ${ℂ}_{\mathrm{\infty }}$. Oni difinas algebrajn operaciojn per $z+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$ por ĉiu $z\in ℂ$, $\frac{z}{0}=\mathrm{\infty }$, $\frac{\mathrm{\infty }}{z}=\mathrm{\infty }$, $z\times \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$ por ĉiu $z\in ℂ\setminus \{0\}$, kaj $\mathrm{\infty }\times \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$, sed aliaj operacioj devas resti nedifinitaj. Tamen, la aro tiam ne plu estas kampo.

Rimana sfero

Kiam oni aldonas topologion de 2-dimensia sfero al la kompleksaj nombroj ĉi tiu aro fariĝas topologia sternaĵo. Fakte, ĝi fariĝas 1-dimensia kompleksa sternaĵo uzante du koordinatarojn. Unue ni povas uzi $z$, kaj due ni povas uzi $w=\frac{1}{z}$. Ofte oni skribas ${\mathbb{P}}^1$ aŭ ${ℂ\mathbb{P}}^1$ por la Rimana sfero, ĉar ĝi ankaŭ estas la 1-dimensia kompleksa projekcia spaco.

Vidu ankaŭ

• Kompleksa nombro
• Sfero