Q-eksponenta funkcio

En kombina matematiko, la q-eksponenta funkcio estas la q-analogo de eksponenta funkcio.

Difino

La q-eksponenta funkcio $e_{q} (z)$ estas difinita kiel

e_{q} (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{[n]_{q}!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n} (1 - q)^{n}}{(q; q)_{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} \frac{(1 - q)^{n}}{(1 - q^{n}) (1 - q^{n - 1}) \dots (1 - q)}

kie $[n]_{q}!$ estas la q-faktorialo kaj

(q; q)_{n} = (1 - q^{n}) (1 - q^{n - 1}) \dots (1 - q)

estas la q-serio. Tio ke ĉi tio estas la q-analogo de la eksponenta funkcio sekvas de propraĵo

{(\frac{d}{d z})}_{q} e_{q} (z) = e_{q} (z)

kie la derivaĵo maldekstre estas q-derivaĵo. La pli supra egalaĵo estas facile kontrolebla per konsidero q-derivaĵo de la unutermo

{(\frac{d}{d z})}_{q} z^{n} = z^{n - 1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = [n]_{q} z^{n - 1} .

Ĉi-tie, $[n]_{q}$ estas la q-krampo.

Por reela $q > 1$ , la funkcio $e_{q} (z)$ estas tuta funkcio de z. Por $q < 1$ , $e_{q} (z)$ estas regula en disko $| z | < 1 / (1 - q)$ .

Por $q < 1$ , funkcio kiu estas proksime rilatanta estas

e_{q} (z) = E_{q} (z (1 - q))

Ĉi tie, $E_{q} (t)$ estas speciala okazo de baza supergeometria serio:

E_{q} (z) =_{1} ϕ_{0} (0; q, z) = \prod_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{1 - q^{n} z}