Polinomo de Legendre

Polinomo de Legendre estas unu el polinomoj, kiuj estas difinataj per formulo (Rodriguesa formo, reference al franca matematikisto Olinde Rodrigues) :

$P_n=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n(n=0,1,\dots )$

aŭ en publika formo:

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum _{i=0}^{[\frac{n}{2}]}(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2i}{n})x^{n-2i}.$

Ekvacio de Legendre

La ekvacio de Legendre estas la sekvanta: $\frac{\text{d}}{\text{d}x}[(1-x^2)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}]+n(n+1)y=0$

Polinomo de Legendre de grado n estas $P_n$ (pri ĉiu entjera nombro n), kiu estas solvo de la antaŭa ekvacio :

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}[(1-x^2)\frac{\text{d}{P}_n(x)}{\text{d}x}]+n(n+1)P_n(x)=0,P_n(1)=1.$

Oni povas konsideri $P_n=P_n^{(0,0)}$, kiam $P_n^{(\alpha ,\beta )}$ indikas polinomon de Jacobi kun indico n ligita al parametroj α kaj β.

La ĉisupra ekvacio estas ligita al laplaca ekvacio $\mathrm{\Delta }\psi =0$, kiam oni serĉas ties solvoj kaj kiam ĝi estas skribita en sferaj koordinatoj; ekzemple pri elektrostatika problemo, kie la ŝarga denseco estas nula aŭ en vakuo.

Genera funkcio

Polinomoj de Legendre estas koeficientojn en serio de Maclaurin de funkcio $G(x,t)=(1-2xt+t^2{)}^{-1/2}$,

do estas formulo:

$G(x,t)=(1-2xt+t^2{)}^{-1/2}=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_l(x)t^l$

Atributoj de polinomoj

• rikura formulo: $P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}x{P}_n(x)-\frac{n}{n+1}{P}_{n-1}(x)(n=1,2,\dots )$
• orteco en intervalo [-1,1]: $⟨P_m,P_n⟩=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)\mathrm{d}x=0\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{r}m\ne n$

Ekzemploj de polinomoj

n	$P_n(x)$
0	$1$
1	$x$
2	$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(3x^2-1)$
3	$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(5x^3-3x)$
4	$\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(35x^4-30x^2+3)$
5	$\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(63x^5-70x^3+15x)$
6	$\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$
7	$\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)$
8	$\begin{array}{c}\frac{1}{128}\end{array}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)$
9	$\begin{array}{c}\frac{1}{128}\end{array}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)$
10	$\begin{array}{c}\frac{1}{256}\end{array}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)$

Skemoj

Vidu ankaŭ

• Akompanaj funkcioj de Legendre