Polinomo de Hermite

Polinomoj de Hermite estas polinomoj kun realaj koeficientoj, kiuj estas difine per rikuraj formuloj:

$H_{n+1}(x)=2x{H}_n(x)-2n{H}_{n-1}(x)$

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=2x$

Ĉi tiuj polinomoj estas uzata en priskribo de kvantuma harmonika oscilatoro.

Genera funkcio

Polinomo de Hermite estas koeficientoj apud variablo t en serio de Maclaurin de funkcio $g(x,t)=e^{-t^2+2tx}$, do estas formulo:

$g(x,t)=e^{-t^2+2tx}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_n(x)\frac{t^n}{n!}$

Skemoj de polinomoj

Sube estas kvar skemoj de unuaj polinomoj de Hermite:

Atributoj de polinomoj de Hermite

• $H_0(x)={e^{-t^2+2tx}|}_{t=0}=1$

• $H_1(x)={\frac{d}{dt}\left(e^{-t^2+2tx}\right)|}_{t=0}=2x$
• $\frac{d{H}_n(x)}{dx}=2n{H}_{n-1}(x)$
• $H_{2n}(0)=(-1{)}^n\frac{(2n)!}{n!}$
• $H_{2n+1}(0)=0$
• $H_n(-x)=(-1{)}^n{H}_n(x)$

Vidu ankaŭ

1. polinomoj de Czebyszew,
2. polinomoj de Laguerre,
3. polinomoj de Legendre.