Momanto (statistiko)

En statistiko, la momantoj estas mezuroj de distribua funkcio de hazarda variablo. Ili kongruas al la parametroj de la priskriba statistiko.

La momanto de grado k>0 pri hazarda variablo X estas, se ekzistas, la atendata valoro de X^k , t.e. : $m_{k} = E [X^{k}] .$

Centraj momantoj

Centra momanto de grado $k \geq 0$ pri hazarda variablo X estas la nombro $μ_{k} = E [{(X - E [X])}^{k}] .$

La 0-a centra momanto $μ_{0}$ egalas al 1, dum la 1-a centra momanto $μ_{1}$ egalas al 0.

Iaj momantoj estas konitaj per apartaj nomoj. Ili estas kutime uzataj por karakterizi hazardan variablon.

La unua momanto de variablo: $m_{1} = E [X]$ , ofte notata $μ$ aŭ iam $m$ , simple kongruas al la atendita valoro.

La dua centra momanto: $μ_{2} = E [(X - μ)^{2}]$ , ofte notata $σ^{2}$ , $σ_{X}^{2}$ , $var (X)$ , kongruas al la varianco.

La tria norma centra momanto: $γ_{1} = \frac{μ_{3}}{σ^{3}} = E [{(\frac{X - μ}{σ})}^{3}]$ , kongruas al la asimetriokoeficiento. Ĝi permesas mezuri asimetrion de probablodistribuo, kaj estas pozitiva aŭ negativa; evidente, ĝi nulas pri (simetria) normala distribuo.

La kvara norma centra momanto : $β_{2} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}} = E [{(\frac{X - μ}{σ})}^{4}]$ kongruas al la kurtosiso (el greka termino, kiu signifas ŝvelo). Ĝi permesas mezuri diferencojn inter distribuokurboj; akra pinto kun longa vosto havas grandan kurtosison, aŭ runda supro kun mallonga vosto havas malgrandan kurtosison. Pri normala distribuo $β_{2} = 3$ , tial ke oni foje konsideras $γ_{2} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}} - 3$ , kiu estas aŭ pozitiva (granda kurtosiso), aŭ negativa (malgranda kurtosiso), aŭ nula ("kvazaŭ" normala distribuo).

Oni povas skribi rilatojn inter la ordinaraj momantoj $m_{k}$ kaj la centraj momantoj $μ_{k}$ . Sekvas ekzemploj ĝis k=4:

μ_{2} = m_{2} - m_{1}^{2},

μ_{3} = m_{3} - 3 m_{1} m_{2} + 2 m_{1}^{3},

μ_{4} = m_{4} - 4 m_{1} m_{3} + 6 m_{1}^{2} m_{2} - 3 m_{1}^{4};

kaj

m_{2} = μ_{2} + m_{1}^{2},

m_{3} = μ_{3} + 3 m_{1} μ_{2} + m_{1}^{3},

m_{4} = μ_{4} + 4 m_{1} μ_{3} + 6 m_{1}^{2} μ_{2} + m_{1}^{4} .