Modelo de Einstein

La modelo de Einstein estas modelo de solido kiel aro de harmonaj osciloj kiuj ne interagas kaj oscilas ĉe la sama frekvenco.

Derivado

Konsideru unu harmonan oscilon kun frekvenco $\omega$. La dispartiga funkcio estas do

$Z(T)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\exp (-(n+1/2)\hslash \omega /kT)$

$=\frac{\exp (-\hslash \omega /2kT)}{1-\exp (-\hslash \omega /kT)}=\frac{1}{2\sinh (\hslash \omega /2kT)}$.

La dispartiga funkcio de $3N$ tiaj osciloj estas do

$Z(T)=\frac{1}{(2\sinh (\hslash \omega /2kT){)}^{3N}}$.

(Ni konsideru $3N$ oscilojn ĉar ĉiu partiklo havas tri gradojn de libereco laŭ la tri dimensioj de spaco.) La averaĝa energio $U$ de la sistemo de $3N$ osciloj ĉe temperaturo $T$ estas

$U(T)=-\frac{\mathrm{d}\ln Z}{\mathrm{d}(1/kT)}=\frac{3}{2}N\hslash \omega \coth \frac{\hslash \omega }{2kT}$.

La sendimensia varmokapacito estas

$C_V/Nk=\frac{1}{Nk}\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}T}=\frac{3(\hslash \omega /2kT{)}^2}{{\sinh }^2(\hslash \omega /2kT)}$.

Ĉe grandega temperaturo $T\gg \hslash \omega /k$,

$C_V/Nk\to 3$.

Tiu ĉi fakto nomiĝas la leĝo de Dulong–Petit.

Ĉe malgrandega temperaturo $T\ll \hslash \omega /k$,

$C_V/Nk\approx \frac{3(\hslash \omega /kT{)}^2}{\exp (\hslash \omega /kT)}\to 0$.

Referencoj

• A. Einstein, "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme", Annalen der Physik, vol. 22, pp. 180–190, 1907.
• B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, Éléments de physique statistique, 1996.
• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Mécanique quantique.