Leibniz-a integrala regulo

La Leibniz-a integrala regulo, aŭ formulo de Leibniz por diferencialado de difinita integralo, estas

$\frac{d}{dt}\underset{a(t)}{\overset{b(t)}{\int }}f(t,x)dx=\underset{a(t)}{\overset{b(t)}{\int }}\frac{\partial f(t,x)}{\partial t}dx+f(t,b(t))\frac{db(t)}{dt}-f(t,a(t))\frac{da(t)}{dt}.$

(rimarku, ke la randoj de integralado estas funkcioj de t).

Pruvo de la Leibniz-a integrala regulo

Estu

$G=G(t,a,b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t,x)dx$

kie la randoj de integralado A = A(t) kaj b = b(t) estas funkcioj de t. La tuteca derivaĵo de G kun respekto al t, en terminoj de partaj derivaĵoj, estas

$\frac{d}{dt}G=\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{\partial G}{\partial a}\frac{da}{dt}+\frac{\partial G}{\partial b}\frac{db}{dt}.(1)$

Tiam

$\frac{\partial G}{\partial t}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial f}{\partial t}dx,(2)$

ĉar integralo estas kontinua sumado, kaj derivado estas lineara operacio,

$\frac{\partial G}{\partial b}=\frac{\partial }{\partial b}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t,x)dx=f(t,b)(3)$

pro la fundamenta teoremo de kalkulo, kaj

$\frac{\partial G}{\partial a}=\frac{\partial }{\partial a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t,x)dx=-f(t,a)(4)$

denove pro la fundamenta teoremo de kalkulo. Anstataŭigante ekvaciojn (2), (3), kaj (4) en ekvacion (1) oni ricevas la formulon.