Leĝo de tangentoj

En trigonometrio, la leĝo de tangentoj aŭ tangenta formulo aŭ tangenta regulo aŭ tangenta teoremo estas interrilato inter longoj de lateroj kaj tangentoj de anguloj ĉe triangulo sur eŭklida ebeno.

Se longoj de lateroj de la triangulo estas a, b kaj c kaj la anguloj kontraŭaj al tiuj lateroj estas α, β kaj γ, la leĝo estas:

\frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan [\frac{1}{2} (α - β)]}{\tan [\frac{1}{2} (α + β)]}

Pruvo

Por pruvi oni startu de la leĝo de sinusoj:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β}

Estu q:

q = \frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β}

Ĉi tiun identon, oni solvu por ambaŭ b kaj a kiel tia,

a = q \sin α, b = q \sin β

Nun eblas kalkuli valoron $\frac{a - b}{a + b}$ :

\frac{a - b}{a + b} = \frac{q \sin α - q \sin β}{q \sin α + q \sin β} = \frac{\sin α - \sin β}{\sin α + \sin β}

Per la trigonometriaj identoj por produto kaj sumo rezultiĝas

\sin (x) + \sin (y) = 2 \sin (\frac{x + y}{2}) \cos (\frac{x - y}{2})

kaj por $x = α$ kaj $y = \pm β$ rezultiĝas

\frac{a - b}{a + b} = \frac{2 \sin (\frac{α - β}{2}) \cos (\frac{α + β}{2})}{2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})} = \frac{\tan [\frac{1}{2} (α - β)]}{\tan [\frac{1}{2} (α + β)]}