Kelkaj kompleksaj variabloj

Kelkaj kompleksaj variabloj estas matematika kampo en kiu oni studas holomorfajn funkciojn en pli ol unu kompleksa dimensio.

Holomorfaj funkcioj

Se $U\subset {ℂ}^n$ estas domajno, oni diras ke funkcio $f:U\to {ℂ}^n$ estas holomorfa se ĝi estas holomorfa aparte en ĉiu variablo. Pli precize, se $(z_1,z_2,\dots ,z_n)$ estas la koordinatoj, tiam $f$ estas holomorfa se la funkcio$$\xi \mapsto f(z_1,\dots ,z_{j-1},\xi ,z_{j+1},\dots ,z_n)$$ estas holomorfa kiel funkcio de unu kompleksa variablo por ĉiu $j$

Oni ankaŭ povas difini holomorfan funkcion per parta diferenciala ekvacio. Estu $z_j=x_j+i{y}_j$. Difinu $$\frac{\partial }{\partial z_j}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x_j}-i\frac{\partial }{\partial y_j}),\text{ kaj }\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}_j}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x_j}+i\frac{\partial }{\partial y_j})$$ Tiam $f$ estas holomorfa, se la funkcio sekvas la ekvaciojn de Cauchy-Riemann: $$\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}_j}f=0,\text{por ĉiu }j=1,2,\dots ,n.$$