Inversa elemento

Ŝablono:Algebraj strukturoj Inversa elemento aŭ inverso estas ĝeneraligo de inverso de nombro.

(S, $\mathrm{♢}$) estu magmo (t.e. aro S kun interna duvalenta operacio $\mathrm{♢}$) kun neŭtrala elemento $e$. Elemento x nomiĝas inversa elemento por elemento y, se validas du kondiĉoj:

1. $x\mathrm{♢}y=e$,
2. $y\mathrm{♢}x=e$.

Se por la operacio $\mathrm{♢}$ oni uzas simbolon $+,\oplus ,\cup ,\vee$ kaj ĝi havas adician karakteron, tiam la inversan elementon oni nomas kontraŭa elemento, simbole: $-x$.

Por inversa elemento de miltiplikecaj operacioj $*,\cdot ,\otimes ,\cap ,\wedge ,\star$ oni kutime uzas notacion $x^{-1}$.

Unuflanka inversa elemento

Se estas plenumita nur unu el la supraj kondiĉojn, tiam oni parolas pri maldekstra inversa elemento (unua kondiĉo) kaj dekstra inversa elemento (dua kondiĉo).

Rimarku: elemento povas havi multajn diversajn (mal)dekstrajn inversojn. Tamen se la operacio estas asocia kaj elemento x havas kaj maldekstran kaj dekstran inversojn, tiam ili estas egalaj, t.e. la elemento x havas unikan inverson.

Ekzemploj

• Se la koncerna operacio estas adicio de realaj nombroj, a elemento inversa al nombro $2$ estas nombro $-2$. Ĉar: $2+(-2)=0$ kaj $(-2)+2=0$ (nulo estas neŭtrala elemento rilate al adicio).
• Se la koncerna operacio estas multiplikado de realaj nombroj, tiam inversa elemento kontraŭ $2$ estas $\frac{1}{2}$, ĉar $2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot 2=1$ (unu estas neŭtrala elemento rilate al multiplikado).

La lasta ekzemplo pruvas, ke ne por ĉiu elemento nepre ekzistas inversa elemento: la nombro nulo ne havas inversan elementon rilate al multiplikado.