Integrala eksponenta funkcio

Graikaĵoj de E₁ (supra) kaj Ei (malsupra)

En matematiko, la integrala eksponenta funkcio Ei(x) estas difinita kiel difinta integralo de certa esprimo kun la eksponenta funkcio:

$\text{Ei}(x)=-\underset{-x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t$

Ĉar integralo de 1/t malkonverĝas je t=0, la pli supre donita integralo estas komprenata kiel la koŝia ĉefa valoro.

La integrala eksponenta funkcio havas la serian prezenton:

$\text{Ei}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{kk!}$

kie γ estas la eŭlera γ konstanto.

La eksponenta funkcia integralo estas proksime rilatanta al la logaritma integrala funkcio li(x)

li(x) = Ei (ln (x)) por ĉiu pozitiva reela x≠1.

Ankaŭ proksime rilatanta estas funkcio kiu integralatas super malsama limigo:

${\mathrm{E}}_1(x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t$

Ĉi tiu funkcio povas esti estimita kiel etendado de la integrala eksponenta funkcio al negativaj reelaj nombroj per

Ei(-x) = - E₁(x)

Oni povas esprimi ilin ambaŭ per la tuta funkcio

$\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-e^{-t})\frac{\mathrm{d}t}{t}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{x}^k}{kk!}$

Uzante ĉi tiun funkcion, oni tiam povas difini, uzante la logaritmon

${\mathrm{E}}_1(x)=-\gamma -\ln x+\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)$

kaj

$\mathrm{E}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}(-x)$

La integrala eksponenta funkcio povas ankaŭ esti ĝeneraligita al

$E_n(x)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-xt}}{t^n}\mathrm{d}t$

Eksteraj ligiloj

• Milton Abramowitz kaj Irene A. Stegun, Gvidlibro de matematikaj funkcioj kun formuloj, grafikaĵoj kaj matematikaj tabeloj. Novjorko, Dover, 1972. (Vidu en ĉapitro 5)
• Ŝablono:MathWorld
• Ŝablono:MathWorld
• Formuloj por Ei