Harmona serio

Harmona serio – nombra serio kiu havas aspekton:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$

Nomo devenas de sekvaj duontonoj de oscilanta kordo, kiuj estas proporcia al 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Ĉiuj elemento de serio estas harmona meznombro de du antaŭaj nombroj.

Malkonverĝo de harmona serio

Harmona serio estas malkonverĝa - suba pruvo de tiu fakto devenas de Nikolao de Oresme kaj estas unu el gravaj sukcesoj de mezepoka matematiko.

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots =1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\dots >$

$>1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8})+\dots =1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\dots$

Ĉar sumo de nombroj en ĉiu krampo de la lasta formulado estas = 1/2, vico de partaj sumoj de la serio ne havas limeson.

Ĝeneralaĵoj

Tiel nomata ĝenerala harmona serio

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{an+b}$

estas malkonverĝa kiam $a\ne 0,b\in ℝ$

Oni povas pruvi, ke makkonverĝa estas ankaŭ serio de inversoj de primoj.

Harmonaj nombroj

Sekvaj partaj sumoj de harmona serio

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k},$

tiel nomataj harmonaj nombroj, kreskas malrapide, ĉar ekzistas ekvacio:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n-\ln (n)=\gamma$

kaj γ estas tiel nomata konstanto de Euler. Tio signifas, ke harmona serio kreskas same rapide kiel natura logaritmo.

Harmona serio kun pli altaj gradoj

Harmona serio kun grado α havas aspekton:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\alpha }}=1+\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{3^{\alpha }}+\frac{1}{4^{\alpha }}+\dots$

La serio estas konverĝa por α>1 kaj malkonverĝa alikaze. Se α povus esti kompleksa nombro kaj por ĉiu α kiam serio estas korverĝa kunigos ĝia sumo, tiel verkata funkcio estas funkcio ς de Riemann:

$\zeta (\alpha )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{\alpha }}$

Tiu funkcio estas grava en teorio de nombroj. Kaj kunigas kun ĝi fama hipotezo de Riemann.

Ankaŭ Alterna harmona serio estas ankaŭ konverĝa, sed nur kondiĉe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=\ln 2.$

Tiu rezultas ekzemple el disvolvo de funkcio natura logaritmo en serio de Taylor.