Ekvacio de Ĉebiŝev

Ekvacio de Ĉebiŝev estas lineara ordinara diferenciala ekvacio de la dua ordo

$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+p^{2}y=0$

kie p estas reela konstanto. La ekvacio estas nomita post rusia matematikisto Pafnutij Ĉebiŝov.

La solvaĵoj estas ricevita per potencoserio:

$y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

kie la koeficientoj obeas la rikuran formulon

$a_{n+2}=\frac{(n-p)(n+p)}{(n+1)(n+2)}{a}_n$

Ĉi tiu serio konverĝas por x en [-1, 1], kio povas vidiĝi per apliko de la rilatuma provo al la rikura rormulo.

La rikuro povas esti startita kun ajnaj valoroj de a₀ kaj a₁, donante la du-dimensian spacon de solvaĵoj, kio estas pro la dua ordo de la diferenciala ekvacio. Estas du sendependaj solvaĵoj kiuj estas serioj por la valoroj de a₀ kaj a₁:

a₀ = 1 ; a₁ = 0

$F(x)=1-\frac{p^2}{2!}{x}^2+\frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}{x}^4-\frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}{x}^6+\cdots$

a₀ = 0 ; a₁ = 1

$G(x)=x-\frac{(p-1)(p+1)}{3!}{x}^3+\frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}{x}^5-\cdots$

La ĝenerala solvaĵo estas ĉiu lineara kombinaĵo de ĉi tiuj du.

Se p estas entjero, unu aŭ la alia el la du funkcioj havas sian serion finitan post finia kvanto de termoj: F finias se p estas para, kaj G finias se p estas nepara.

En ĉi tiu okazo, tiu funkcio kiu estas polinomo de p-a grado (konverĝanta ĉie), kaj ĉi tiu polinomo estas proporcia kun la p-a polinomo de Ĉebiŝev.