Delto de Kronecker

En matematiko, la delto de Kronecker estas funkcio de du variabloj, kutime entjeroj, kiu estas 1 se ili estas egalaj kaj 0 alie. Ĝi estas skribita per litero δ kiel δ_ij de argumentoj i kaj j.

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

Tiel ekzemple ${\delta }_{12}=0$, kaj ${\delta }_{44}=1$.

Alia skribmaniero estas

$[i=j]=\{\begin{array}{cc}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$

Unu-variabla skribmaniero ${\delta }_i$ estas uzata kiel:

${\delta }_i=\{\begin{array}{cc}1,& i=0\\ 0,& i\ne 0\end{array}$

Impulsa funkcio

Simile, en cifereca signala prilaborado, la sama nocio estas prezentata kiel funkcio sur entjeroj:

$\delta [n]=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}$

La funkcio estas nomata kiel impulso aŭ impulsa funkcio aŭ unuimpulso. Kaj kiam ĝi estas donata en enenigon de iu sistemo, la eligo estas la impulsa respondo.

En lineara algebro, la identa matrico povas esti skribita kiel ${\delta }_{ij}$. En lineara algebro, delto de Kronecker povas esti uzata ankaŭ kiel tensoro kaj estas tiam skribata kiel ${\delta }_j^i$.

Propraĵoj

La delto de Kronecker plenumas la jenan ekvacion:

$\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\delta }_{ij}{a}_i=a_j$

Ĉi tiu propraĵo estas simila al tiu de la diraka delta funkcio:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-y)f(x)dx=f(y)$

kaj fakte la diraka delto estis nomita post kiam la delto de Kronecker.

Ĝeneraligo

Sammaniere oni povas difini analogan funkcion de pluraj variabloj, la ĝeneraligitan delton de Kronecker:

${\delta }_{i_1{i}_2\dots i_n}^{j_1{j}_2\dots j_n}=\prod _{k=1}^n{\delta }_{i_k{j}_k}$

La valoro de ĉi tiu funkcio estas aŭ +1, aŭ −1, aŭ 0.

• Se la supraj indicoj ($j_1{j}_2\dots j_n$) estas para permuto de (konsistas el para nombro de interŝanĝoj de apudaj paroj en) $i_1{i}_2\dots i_n$, la valoro estas +1.
• Se la supraj indicoj ($j_1{j}_2\dots j_n$) estas nepara permuto de (konsistas el nepara nombro de interŝanĝoj de apudaj paroj en) $i_1{i}_2\dots i_n$, la valoro estas −1.
• Se la supraj indicoj ($j_1{j}_2\dots j_n$) ne estas permuto de $i_1{i}_2\dots i_n$, la valoro estas 0.

Historio

La delton de Kronecker inventis la germana matematikisto Leopold Kronecker (1823–1891).

Vidu ankaŭ

• Diraka delta funkcio