Teoremo de Menelao

En eŭklida geometrio, la teoremo de Menelao donas necesan kaj sufiĉan kondiĉon, ke tri punktoj sur lateroj de triangulo, aŭ iliaj daŭrigoj, estu metitaj sur unu linio.

Kazo 1: Du punktoj sur la latero kaj tria punkto en la daŭrigo de la alia latero

Kazo 2: Ĉiuj punktoj sur la daŭrigoj de la lateroj

La teoremo diras (laŭ la markoj en la maldekstraj desegnoj), ke la punktoj D, E, F situas sur unu linio (en la desegno - la purpura linio) se kaj nur se ĝi plenumas: $\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=-1$ (Kiam la rilato estas markita de la direkto).

Pruvo

Ni metas tri punktoj al linio perpendikulara al la linio DE; Ni markos ĉiun punkton en la projekcio per litero de la originala punkto kun etikedo ('). Laŭ la teoremo de Taleso, la teoremo de Menelao, kiun ni volas pruvi, estas ekvivalenta al la determino, ke D' kaj F' kunfandiĝas se kaj nur se: $\frac{A^{\prime }{F}^{\prime }}{F^{\prime }{B}^{\prime }}\cdot \frac{B^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \frac{C^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{A}^{\prime }}=-1$,

Kaj ĉi tiu formulo samvaloras al $\frac{A^{\prime }{F}^{\prime }}{F^{\prime }{B}^{\prime }}\cdot \frac{B^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{A}^{\prime }}=1$,

Ekvivalenta al $\frac{A^{\prime }{F}^{\prime }}{F^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{B}^{\prime }}$ .

Estas klare, ke ĉi tio ekzistas se kaj nur se D', kaj F' kunfluas.

Vidu ankaŭ

• Eŭklida geometrio
• Teoremo de Taleso
• Teoremo de Ĉeva