Diferenciala operatoro

Diferenciala operatoro estas lineara operatoro, kiu konsistas el (partaj) derivoj kun koeficientoj.

Difino

Se $M$ estas glata sternaĵo, kaj $E$ kaj $F$ estas glataj vektoraj faskoj sur ĝi, do diferenciala operatoro de grado $k$ de sekcioj de $E$ al sekcioj de $F$ estas operatoro de la jena formo:

$D:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(F)$

$D=T_0+T_1^{\mu }{\partial }_{\mu }+T_2^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }+\cdots +T_k^{{\mu }_1{\mu }_2\dots {\mu }_k}{\partial }_{{\mu }_1}{\partial }_{{\mu }_2}\cdots {\partial }_{{\mu }_k}$

La koeficiencoj $T_0$ estas sekcioj de la jenaj vektoraj faskoj:

$T_0\in \mathrm{\Gamma }(E^{*}\otimes F)$

$T_1\in \mathrm{\Gamma }(E^{*}\otimes \mathrm{T}M\otimes F)$

$T_2\in \mathrm{\Gamma }(E^{*}\otimes \mathrm{T}M\otimes \mathrm{T}M\otimes F)$

$⋮$

$T_k\in \mathrm{\Gamma }(E^{*}\otimes (\mathrm{T}M{)}^{\otimes k}\otimes F)$

Ĉi-supre, $\mathrm{T}M$ estas la tanĝa fasko de la glata sternaĵo $M$. La tanĝaj indicoj de $T_i^{{\mu }_1\dots {\mu }_i}$ estas simetriaj.

La ĉi-supra esprimo dependas de la koordinatsistemo uzata sur la sternaĵo. Tamen, ŝanĝo de la koordinatsistemo ne ŝanĝas la ĝeneralan formon de la ĉi-supra esprimo, nek la grado.

Ekzemploj

Lineara konekto en vektora fasko difinas la kunvariantan derivon:

$\mathrm{\nabla }:\mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(E\otimes {\mathrm{T}}^{*}M)$

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{s}^a={\partial }_{\mu }{s}^a+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu b}^a{s}^b$

Ĝi estas diferenciala operatoro de grado 1.

La laplaca operatoro estas ekzemplo de diferenciala operatoro de grado 2. Sur rimana sternaĵo $(g,M)$, la laplaca operatoro sur funkcioj estas la jeno:

$\mathrm{\Delta }:{𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)\to {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$

$\mathrm{\Delta }f=g^{ij}{\partial }_i{\partial }_{j}f+g^{ij}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{\partial }_{k}f$

En plata spaco, la simbolo de Christoffel ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k$ estas nul.

Eksteraj ligiloj

• Ŝablono:Mathworld