Parametra derivaĵo

En kalkulo, parametra derivaĵo estas derivaĵo kiu estas kalkulata se ambaŭ variabloj x kaj y (sendependa kaj dependa, respektive) dependas de sendependa tria variablo t,.

Ekzemple, konsideru funkciojn

$x(t)=4t^2$

kaj

$y(t)=3t.$

La unua derivaĵo de ili estas:

$\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)},$

kie $\dot{x}(t)$ signifas derivaĵon de x de t. Por kompreni kial la derivaĵo aspektas tiamaniere, memoru la ĉenan regulon por derivaĵoj:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx},$

aŭ

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.$

Pli formale, per la ĉena regulo:

$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$

kaj dividante ambaŭ flankojn per $\frac{dx}{dt}$ oni faras la pli supran ekvacion.

Kiam oni diferencialas ambaŭ funkciojn de t, oni finiĝas kun

$\frac{dx}{dt}=8t$

kaj

$\frac{dy}{dt}=3,$

respektive. Enigante ĉi tion en la formulon por la parametra derivaĵo, oni ricevas la jenon

$\frac{dy}{dx}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{3}{8t},$

kie $\dot{x}$ kaj $\dot{y}$ estas estas funkcioj de t.

La dua derivaĵo de parametra ekvacio estas donita per

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$	$=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$
	$=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot \frac{dt}{dx}$
	$=\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\right)\frac{1}{\dot{x}}$
	$=\frac{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}{{\dot{x}}^3}$

per uzo de la rilata regulo por derivaĵoj. La lasta rezulto estas utila en la kalkulado de kurbeco.

Vidu ankaŭ

• Derivaĵo (ĝeneraligoj)